Страница 103 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. На координатной прямой отмечено число $a$ (рис. 30).

Укажите верное утверждение.

1) $5 - a > 0$

2) $a - 4 < 0$

3) $6 - a > 0$

4) $a - 6 > 0$

Рис. 30

На координатной прямой отмечены числа 0 и 1, что задает единичный отрезок. Деления на прямой соответствуют целым числам. Отсчитаем деления вправо от нуля: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т.д. Точка, обозначающая число a, находится между отметками 6 и 7. Следовательно, для числа a выполняется двойное неравенство: $6 < a < 7$.

Теперь проверим каждое утверждение, чтобы найти верное.

1) $5 - a > 0$
Это неравенство равносильно неравенству $a < 5$. Так как мы определили, что $a > 6$, данное утверждение неверно.
Ответ: неверно.

2) $a - 4 < 0$
Это неравенство равносильно неравенству $a < 4$. Так как мы определили, что $a > 6$, данное утверждение неверно.
Ответ: неверно.

3) $6 - a > 0$
Это неравенство равносильно неравенству $a < 6$. Из расположения точки a на прямой следует, что она находится правее отметки 6, то есть $a > 6$. Следовательно, данное утверждение неверно.
Ответ: неверно.

4) $a - 6 > 0$
Это неравенство равносильно неравенству $a > 6$. Поскольку мы установили, что число a находится в интервале $(6; 7)$, то оно действительно больше 6. Следовательно, данное утверждение верно.
Ответ: верно.

2. Какое из приведённых неравенств равносильно неравенству $x^4 \le 0$?

1) $x \le 0$

2) $x < 0$

3) $|x| \le 0$

4) $x^3 \le 0$

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы найти, какое из предложенных неравенств равносильно неравенству $x^4 \le 0$, нужно сначала найти множество решений исходного неравенства, а затем сравнить его с множествами решений каждого из вариантов.

Решение исходного неравенства $x^4 \le 0$

Выражение $x^4$ представляет собой переменную $x$, возведенную в четную степень (4). Любое действительное число, возведенное в четную степень, всегда является неотрицательным. То есть, для любого действительного $x$ выполняется условие $x^4 \ge 0$.

Следовательно, неравенство $x^4 \le 0$ может выполняться только в том случае, когда обе части неравенства равны, то есть $x^4 = 0$.

Решением уравнения $x^4 = 0$ является единственное число $x=0$.

Таким образом, множество решений исходного неравенства состоит из одного элемента: $\{0\}$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) Неравенство $x \le 0$. Решением этого неравенства являются все числа, которые меньше или равны нулю. Множество решений записывается как числовой промежуток $(-\infty, 0]$. Это множество содержит бесконечно много чисел и не совпадает с множеством $\{0\}$.

2) Неравенство $x < 0$. Решением этого неравенства являются все числа, которые строго меньше нуля. Множество решений: $(-\infty, 0)$. Это множество не включает $0$ и также не совпадает с множеством $\{0\}$.

3) Неравенство $|x| \le 0$. По определению, модуль (абсолютное значение) любого действительного числа $|x|$ является неотрицательным, то есть $|x| \ge 0$. Следовательно, неравенство $|x| \le 0$ может выполняться только при условии, что $|x| = 0$. Решением этого уравнения является единственное число $x=0$. Множество решений: $\{0\}$. Это множество полностью совпадает с множеством решений исходного неравенства, следовательно, эти неравенства равносильны.

4) Неравенство $x^3 \le 0$. Выражение $x^3$ представляет собой переменную $x$, возведенную в нечетную степень (3). Знак такого выражения совпадает со знаком самой переменной $x$. Поэтому неравенство $x^3 \le 0$ истинно для всех $x \le 0$. Множество решений: $(-\infty, 0]$. Оно не совпадает с множеством $\{0\}$.

Сравнив множества решений, мы заключаем, что только неравенство $|x| \le 0$ равносильно исходному неравенству $x^4 \le 0$.

Ответ: 3

3. Множеством решений какого неравенства является промежуток $ (-\infty; -7] $?

1) $x \le -7$

2) $x < -7$

3) $x \ge -7$

4) $x > -7$

Заданный промежуток $(-\infty; -7]$ представляет собой множество всех действительных чисел от минус бесконечности до $-7$. Разберем, что означает такая запись:

• Круглая скобка `(` у символа бесконечности $(-\infty$ показывает, что промежуток не ограничен с этой стороны.
• Квадратная скобка `]` у числа $-7$ означает, что само число $-7$ включено в данный промежуток.

Таким образом, мы ищем все числа $x$, которые меньше или равны $-7$. В виде неравенства это записывается как $x \le -7$.

Теперь сравним это с предложенными вариантами:

1) $x \le -7$
Данное неравенство означает, что $x$ может быть любым числом, которое меньше или равно $-7$. Это в точности соответствует промежутку $(-\infty; -7]$. Следовательно, это правильный вариант.

2) $x < -7$
Данное неравенство является строгим. Оно означает, что $x$ может быть любым числом, которое строго меньше $-7$. Это соответствует промежутку $(-\infty; -7)$, где число $-7$ не является решением. Этот вариант не подходит.

3) $x \ge -7$
Данное неравенство означает, что $x$ может быть любым числом, которое больше или равно $-7$. Это соответствует промежутку $[-7; +\infty)$. Этот вариант не подходит.

4) $x > -7$
Данное неравенство является строгим. Оно означает, что $x$ может быть любым числом, которое строго больше $-7$. Это соответствует промежутку $(-7; +\infty)$. Этот вариант не подходит.

Таким образом, множеством решений неравенства $x \le -7$ является промежуток $(-\infty; -7]$.

Ответ: 1

4. Какая из данных систем неравенств не имеет решений?

1) $\begin{cases} x > -1 \\ x \ge 5 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x > -1 \\ x \le 5 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x < -1 \\ x \ge 5 \end{cases}$

4) $\begin{cases} x < -1 \\ x \le 5 \end{cases}$

Чтобы определить, какая из систем неравенств не имеет решений, необходимо найти множество решений для каждой системы. Система не имеет решений, если множества решений входящих в нее неравенств не пересекаются (то есть их пересечение является пустым множеством).

1) $ \begin{cases} x > -1 \\ x \ge 5 \end{cases} $
Решением первого неравенства $x > -1$ является интервал $x \in (-1; +\infty)$.
Решением второго неравенства $x \ge 5$ является интервал $x \in [5; +\infty)$.
Пересечением этих двух множеств является интервал, в котором выполняются оба условия. Любое число, которое больше или равно 5, также больше -1. Следовательно, решением системы является пересечение этих интервалов: $(-1; +\infty) \cap [5; +\infty) = [5; +\infty)$.
Так как множество решений не пустое, система имеет решения.
Ответ: система имеет решения.

2) $ \begin{cases} x > -1 \\ x \le 5 \end{cases} $
Решением первого неравенства $x > -1$ является интервал $x \in (-1; +\infty)$.
Решением второго неравенства $x \le 5$ является интервал $x \in (-\infty; 5]$.
Пересечением этих интервалов являются все числа, которые больше -1 и одновременно меньше или равны 5. Это интервал $(-1; 5]$.
Так как множество решений не пустое, система имеет решения.
Ответ: система имеет решения.

3) $ \begin{cases} x < -1 \\ x \ge 5 \end{cases} $
Решением первого неравенства $x < -1$ является интервал $x \in (-\infty; -1)$.
Решением второго неравенства $x \ge 5$ является интервал $x \in [5; +\infty)$.
Необходимо найти числа, которые одновременно меньше -1 и больше или равны 5. На числовой прямой эти два интервала не пересекаются. Таким образом, их пересечение является пустым множеством: $(-\infty; -1) \cap [5; +\infty) = \emptyset$.
Поскольку множество решений пустое, система не имеет решений.
Ответ: система не имеет решений.

4) $ \begin{cases} x < -1 \\ x \le 5 \end{cases} $
Решением первого неравенства $x < -1$ является интервал $x \in (-\infty; -1)$.
Решением второго неравенства $x \le 5$ является интервал $x \in (-\infty; 5]$.
Пересечением этих множеств являются все числа, которые одновременно меньше -1 и меньше или равны 5. Любое число, которое меньше -1, автоматически меньше или равно 5. Следовательно, решением системы является интервал $(-\infty; -1)$.
Так как множество решений не пустое, система имеет решения.
Ответ: система имеет решения.

Проанализировав все системы, мы приходим к выводу, что единственная система, которая не имеет решений, — это система под номером 3.

5. Укажите рисунок, на котором изображено множество решений системы неравенств $ \begin{cases} 24 - 6x \ge 0, \\ 9x - 2 > -29. \end{cases} $

1) —————ο—————>

$ \qquad \qquad -3 $

2) <—————●—————

$ \qquad \qquad 4 $

3) —————●—————ο—————>

$ \qquad \qquad -4 \qquad 3 $

4) —————ο—————●—————>

$ \qquad \qquad -3 \qquad 4 $

Для того чтобы найти множество решений системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности и затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство:

$24 - 6x \ge 0$

Перенесем 24 в правую часть, изменив знак:

$-6x \ge -24$

Разделим обе части на -6. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-24}{-6}$

$x \le 4$

Решением первого неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 4]$. На числовой прямой это будет закрашенная точка в 4 и штриховка влево от нее.

2. Решим второе неравенство:

$9x - 2 > -29$

Перенесем -2 в правую часть, изменив знак:

$9x > -29 + 2$

$9x > -27$

Разделим обе части на 9 (знак неравенства не меняется, так как 9 — положительное число):

$x > \frac{-27}{9}$

$x > -3$

Решением второго неравенства является числовой промежуток $(-3; +\infty)$. На числовой прямой это будет выколотая точка в -3 и штриховка вправо от нее.

3. Найдем решение системы:

Решением системы является пересечение полученных промежутков, то есть все значения $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $x \le 4$ и $x > -3$.

Это можно записать в виде двойного неравенства: $-3 < x \le 4$.

Данному двойному неравенству соответствует промежуток $(-3; 4]$.

4. Выберем соответствующий рисунок:

Сравним полученный результат с предложенными вариантами:

Рисунок 1) изображает промежуток $x > -3$.

Рисунок 2) изображает промежуток $x \le 4$.

Рисунок 3) изображает промежуток $-4 \le x < 3$.

Рисунок 4) изображает промежуток $-3 < x \le 4$. Он имеет выколотую (пустую) точку на -3, что соответствует строгому неравенству, и закрашенную (сплошную) точку на 4, что соответствует нестрогому неравенству. Штриховка находится между этими точками.

Таким образом, правильный рисунок находится под номером 4.

Ответ: 4