Номер 2, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Какое из приведённых неравенств равносильно неравенству $x^4 \le 0$?

1) $x \le 0$

2) $x < 0$

3) $|x| \le 0$

4) $x^3 \le 0$

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы найти, какое из предложенных неравенств равносильно неравенству $x^4 \le 0$, нужно сначала найти множество решений исходного неравенства, а затем сравнить его с множествами решений каждого из вариантов.

Решение исходного неравенства $x^4 \le 0$

Выражение $x^4$ представляет собой переменную $x$, возведенную в четную степень (4). Любое действительное число, возведенное в четную степень, всегда является неотрицательным. То есть, для любого действительного $x$ выполняется условие $x^4 \ge 0$.

Следовательно, неравенство $x^4 \le 0$ может выполняться только в том случае, когда обе части неравенства равны, то есть $x^4 = 0$.

Решением уравнения $x^4 = 0$ является единственное число $x=0$.

Таким образом, множество решений исходного неравенства состоит из одного элемента: $\{0\}$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) Неравенство $x \le 0$. Решением этого неравенства являются все числа, которые меньше или равны нулю. Множество решений записывается как числовой промежуток $(-\infty, 0]$. Это множество содержит бесконечно много чисел и не совпадает с множеством $\{0\}$.

2) Неравенство $x < 0$. Решением этого неравенства являются все числа, которые строго меньше нуля. Множество решений: $(-\infty, 0)$. Это множество не включает $0$ и также не совпадает с множеством $\{0\}$.

3) Неравенство $|x| \le 0$. По определению, модуль (абсолютное значение) любого действительного числа $|x|$ является неотрицательным, то есть $|x| \ge 0$. Следовательно, неравенство $|x| \le 0$ может выполняться только при условии, что $|x| = 0$. Решением этого уравнения является единственное число $x=0$. Множество решений: $\{0\}$. Это множество полностью совпадает с множеством решений исходного неравенства, следовательно, эти неравенства равносильны.

4) Неравенство $x^3 \le 0$. Выражение $x^3$ представляет собой переменную $x$, возведенную в нечетную степень (3). Знак такого выражения совпадает со знаком самой переменной $x$. Поэтому неравенство $x^3 \le 0$ истинно для всех $x \le 0$. Множество решений: $(-\infty, 0]$. Оно не совпадает с множеством $\{0\}$.

Сравнив множества решений, мы заключаем, что только неравенство $|x| \le 0$ равносильно исходному неравенству $x^4 \le 0$.

Ответ: 3