Номер 4, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Какая из данных систем неравенств не имеет решений?

1) $\begin{cases} x > -1 \\ x \ge 5 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x > -1 \\ x \le 5 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x < -1 \\ x \ge 5 \end{cases}$

4) $\begin{cases} x < -1 \\ x \le 5 \end{cases}$

Чтобы определить, какая из систем неравенств не имеет решений, необходимо найти множество решений для каждой системы. Система не имеет решений, если множества решений входящих в нее неравенств не пересекаются (то есть их пересечение является пустым множеством).

1) $ \begin{cases} x > -1 \\ x \ge 5 \end{cases} $
Решением первого неравенства $x > -1$ является интервал $x \in (-1; +\infty)$.
Решением второго неравенства $x \ge 5$ является интервал $x \in [5; +\infty)$.
Пересечением этих двух множеств является интервал, в котором выполняются оба условия. Любое число, которое больше или равно 5, также больше -1. Следовательно, решением системы является пересечение этих интервалов: $(-1; +\infty) \cap [5; +\infty) = [5; +\infty)$.
Так как множество решений не пустое, система имеет решения.
Ответ: система имеет решения.

2) $ \begin{cases} x > -1 \\ x \le 5 \end{cases} $
Решением первого неравенства $x > -1$ является интервал $x \in (-1; +\infty)$.
Решением второго неравенства $x \le 5$ является интервал $x \in (-\infty; 5]$.
Пересечением этих интервалов являются все числа, которые больше -1 и одновременно меньше или равны 5. Это интервал $(-1; 5]$.
Так как множество решений не пустое, система имеет решения.
Ответ: система имеет решения.

3) $ \begin{cases} x < -1 \\ x \ge 5 \end{cases} $
Решением первого неравенства $x < -1$ является интервал $x \in (-\infty; -1)$.
Решением второго неравенства $x \ge 5$ является интервал $x \in [5; +\infty)$.
Необходимо найти числа, которые одновременно меньше -1 и больше или равны 5. На числовой прямой эти два интервала не пересекаются. Таким образом, их пересечение является пустым множеством: $(-\infty; -1) \cap [5; +\infty) = \emptyset$.
Поскольку множество решений пустое, система не имеет решений.
Ответ: система не имеет решений.

4) $ \begin{cases} x < -1 \\ x \le 5 \end{cases} $
Решением первого неравенства $x < -1$ является интервал $x \in (-\infty; -1)$.
Решением второго неравенства $x \le 5$ является интервал $x \in (-\infty; 5]$.
Пересечением этих множеств являются все числа, которые одновременно меньше -1 и меньше или равны 5. Любое число, которое меньше -1, автоматически меньше или равно 5. Следовательно, решением системы является интервал $(-\infty; -1)$.
Так как множество решений не пустое, система имеет решения.
Ответ: система имеет решения.

Проанализировав все системы, мы приходим к выводу, что единственная система, которая не имеет решений, — это система под номером 3.