Страница 98 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Установите соответствие между неравенствами, записанными в левом столбце, и множествами их решений, записанными в правом столбце.

Неравенства

А) $3(2x - 4) - 7x > -9$

Б) $0,2(5x + 1) > 4(0,25x + 1)$

В) $\frac{x}{2} - \frac{2x}{3} < \frac{1}{2}$

Множества решений

1) $(3; +\infty)$

2) $(-3; +\infty)$

3) $(-\infty; -3)$

4) $\emptyset$

5) $(-\infty; +\infty)$

А) Решим неравенство $3(2x - 4) - 7x > -9$.
Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:
$6x - 12 - 7x > -9$
Приведем подобные слагаемые:
$-x - 12 > -9$
Перенесем число -12 в правую часть, изменив знак на противоположный:
$-x > -9 + 12$
$-x > 3$
Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства меняется на противоположный:
$x < -3$
Множеством решений является интервал $(-\infty; -3)$. Это соответствует варианту 3.
Ответ: 3

Б) Решим неравенство $0.2(5x + 1) > 4(0.25x + 1)$.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$0.2 \cdot 5x + 0.2 \cdot 1 > 4 \cdot 0.25x + 4 \cdot 1$
$x + 0.2 > x + 4$
Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$x - x > 4 - 0.2$
$0 > 3.8$
Мы получили неверное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.
Множеством решений является пустое множество $\emptyset$. Это соответствует варианту 4.
Ответ: 4

В) Решим неравенство $\frac{x}{2} - \frac{2x}{3} < \frac{1}{2}$.
Для того чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, то есть на 6:
$6 \cdot (\frac{x}{2}) - 6 \cdot (\frac{2x}{3}) < 6 \cdot (\frac{1}{2})$
$3x - 2(2x) < 3$
$3x - 4x < 3$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-x < 3$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x > -3$
Множеством решений является интервал $(-3; +\infty)$. Это соответствует варианту 2.
Ответ: 2

7. Оцените периметр $P$ прямоугольника со сторонами $x$ см и $y$ см, если $2 < x < 5$ и $1.5 < y < 3$.

Периметр $P$ прямоугольника со сторонами $x$ и $y$ вычисляется по формуле $P = 2(x + y)$.

По условию задачи, даны следующие ограничения (неравенства) для сторон прямоугольника:

$2 < x < 5$

$1.5 < y < 3$

Чтобы оценить периметр, сначала необходимо найти диапазон значений для суммы сторон $(x + y)$. Для этого воспользуемся свойством неравенств, которое позволяет их складывать почленно, если они одного знака.

Сложим левые и правые части двух неравенств соответственно:

$2 + 1.5 < x + y < 5 + 3$

Выполнив вычисления, получим неравенство для суммы сторон:

$3.5 < x + y < 8$

Теперь, зная диапазон для суммы $(x+y)$, мы можем найти диапазон для периметра $P$. Для этого нужно умножить все части полученного неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства сохраняются.

$2 \cdot 3.5 < 2(x + y) < 2 \cdot 8$

Подставляя $P = 2(x+y)$, получаем итоговую оценку для периметра:

$7 < P < 16$

Это означает, что периметр прямоугольника строго больше 7 см и строго меньше 16 см.

Ответ: $7 < P < 16$.

8. Найдите наибольшее целое решение неравенства

$2(1-x) \ge 5x - (3x+4)$

Чтобы найти наибольшее целое решение неравенства, сначала упростим его. Исходное неравенство:

$2(1 - x) \ge 5x - (3x + 4)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$2 \cdot 1 - 2 \cdot x \ge 5x - 3x - 4$

$2 - 2x \ge 2x - 4$

Теперь соберем все слагаемые с переменной $x$ в одной части, а свободные члены — в другой. Перенесем $-2x$ из левой части в правую, а $-4$ из правой в левую, изменив их знаки на противоположные:

$2 + 4 \ge 2x + 2x$

Выполним сложение в обеих частях:

$6 \ge 4x$

Чтобы выразить $x$, разделим обе части неравенства на 4. Поскольку мы делим на положительное число (4 > 0), знак неравенства сохраняется:

$\frac{6}{4} \ge x$

Запишем это в более привычном виде и представим дробь в виде десятичного числа:

$x \le 1.5$

Решением неравенства являются все числа, которые меньше или равны 1.5. Нам нужно найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию. Целые числа, которые меньше или равны 1.5, это $1, 0, -1, -2, \dots$

Наибольшим среди этих целых чисел является 1.

Ответ: 1

9. Чему равна сумма натуральных чисел, принадлежащих области определения выражения $\sqrt{17 - 4x}$?

Для нахождения области определения выражения $\sqrt{17 - 4x}$ необходимо, чтобы выражение под знаком корня было неотрицательным (больше или равно нулю).

Составим и решим неравенство:

$17 - 4x \ge 0$

Перенесем 17 в правую часть неравенства, изменив знак:

$-4x \ge -17$

Разделим обе части неравенства на -4. При делении на отрицательное число знак неравенства необходимо поменять на противоположный:

$x \le \frac{-17}{-4}$

$x \le \frac{17}{4}$

Чтобы было удобнее определить целые числа, представим дробь в виде десятичного числа:

$x \le 4.25$

Таким образом, область определения выражения — это все числа из промежутка $(-\infty; 4.25]$.

Теперь найдем все натуральные числа (целые положительные числа), которые принадлежат этой области определения. Это числа, которые больше нуля и меньше или равны 4.25.

К таким числам относятся: 1, 2, 3, 4.

Найдем сумму этих натуральных чисел:

$1 + 2 + 3 + 4 = 10$

Ответ: 10

10. Найдите наименьшее целое решение системы неравенств

Для нахождения наименьшего целого решения системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство в отдельности, а затем найти пересечение полученных решений.

1. Решим первое неравенство: $2x - 3 < 3x + 4$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части неравенства, а свободные члены — в другой:

$2x - 3x < 4 + 3$

Приведем подобные слагаемые:

$-x < 7$

Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > -7$

2. Решим второе неравенство: $x - 1 \ge 0,5x - 4$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а свободные члены — в другой:

$x - 0,5x \ge -4 + 1$

Приведем подобные слагаемые:

$0,5x \ge -3$

Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на $2$:

$x \ge -6$

3. Найдем решение системы и наименьшее целое решение

Теперь объединим полученные решения в систему:

$\begin{cases} x > -7 \\ x \ge -6 \end{cases}$

Решением системы является пересечение этих двух множеств. На числовой прямой это будет промежуток, который удовлетворяет обоим условиям одновременно. Таким промежутком является $[-6; +\infty)$.

Нам необходимо найти наименьшее целое число, которое принадлежит этому промежутку. В промежуток $[-6; +\infty)$ входят целые числа: -6, -5, -4, -3, ...

Наименьшим из этих целых чисел является -6.

Ответ: -6.

11. Сколько целых решений имеет неравенство

$-2,5 \leq \frac{1-3x}{2} \leq 1,5?$

Чтобы найти количество целых решений, необходимо решить данное двойное неравенство.

Исходное неравенство:

$-2,5 \le \frac{1-3x}{2} \le 1,5$

Сначала умножим все три части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства сохраняются.

$2 \cdot (-2,5) \le 2 \cdot \frac{1-3x}{2} \le 2 \cdot 1,5$

$-5 \le 1-3x \le 3$

Теперь вычтем 1 из всех частей неравенства, чтобы изолировать слагаемое с переменной $x$.

$-5 - 1 \le 1-3x - 1 \le 3 - 1$

$-6 \le -3x \le 2$

Далее, разделим все части неравенства на -3. Важно помнить, что при умножении или делении неравенства на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные.

$\frac{-6}{-3} \ge \frac{-3x}{-3} \ge \frac{2}{-3}$

$2 \ge x \ge -\frac{2}{3}$

Для удобства запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$-\frac{2}{3} \le x \le 2$

Теперь нам нужно найти все целые числа ($x$), которые удовлетворяют этому условию. Целые числа в этом промежутке — это 0, 1 и 2.

Подсчитаем их количество: 3.

Ответ: 3

12. Найдите множество решений неравенства $ax + 2 < 0$, если $a < 0$.

Для решения неравенства $ax + 2 < 0$ при условии, что $a < 0$, необходимо выразить переменную $x$.

1. Перенесем число 2 в правую часть неравенства. При переносе слагаемого через знак неравенства его знак меняется на противоположный:
$ax < -2$

2. Разделим обе части неравенства на коэффициент $a$. По условию задачи $a < 0$, то есть $a$ является отрицательным числом. Согласно свойству неравенств, при делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный (в данном случае знак «меньше» $<$ меняется на знак «больше» $>$):
$\frac{ax}{a} > \frac{-2}{a}$
$x > -\frac{2}{a}$

Таким образом, множество решений данного неравенства — это все числа, которые больше $-\frac{2}{a}$. Это можно представить в виде числового промежутка.

Ответ: $(-\frac{2}{a}; +\infty)$