Страница 92 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какая из данных последовательностей является геометрической прогрессией?

1) $1, 5, 10, 15$

2) $1, 5, 25, 100$

3) $-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -1\frac{1}{3}, 2\frac{2}{3}$

4) $0,3; -0,3; -0,3; 0,3$

Геометрическая прогрессия — это последовательность ненулевых чисел, в которой каждый последующий член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число, называемое знаменателем прогрессии ($q$). Таким образом, для членов геометрической прогрессии $b_1, b_2, b_3, \dots$ должно выполняться условие $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$ для всех $n \ge 1$. Проверим каждую из предложенных последовательностей.

Проверим, постоянно ли отношение между соседними членами последовательности.

Отношение второго члена к первому: $\frac{5}{1} = 5$.

Отношение третьего члена ко второму: $\frac{10}{5} = 2$.

Так как отношения не равны ($5 \neq 2$), эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: не является геометрической прогрессией.

Проверим, постоянно ли отношение между соседними членами последовательности.

Отношение второго члена к первому: $\frac{5}{1} = 5$.

Отношение третьего члена ко второму: $\frac{25}{5} = 5$.

Отношение четвертого члена к третьему: $\frac{100}{25} = 4$.

Так как отношения не равны ($5 \neq 4$), эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: не является геометрической прогрессией.

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $-1\frac{1}{3} = -\frac{4}{3}$ и $2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$. Последовательность принимает вид: $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{4}{3}, \frac{8}{3}$.

Проверим, постоянно ли отношение между соседними членами последовательности.

Отношение второго члена к первому: $\frac{2/3}{1/3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{1} = 2$.

Отношение третьего члена ко второму: $\frac{-4/3}{2/3} = -\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} = -2$.

Так как отношения не равны ($2 \neq -2$), эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: не является геометрической прогрессией.

Проверим, постоянно ли отношение между соседними членами последовательности.

Отношение второго члена к первому: $\frac{-0,3}{0,3} = -1$.

Отношение третьего члена ко второму: $\frac{0,3}{-0,3} = -1$.

Отношение четвертого члена к третьему: $\frac{-0,3}{0,3} = -1$.

Отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянно и равно $-1$. Следовательно, эта последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: является геометрической прогрессией.

2. Найдите первый член геометрической прогрессии $ (b_n) $, если $ b_2 = 18 $, а знаменатель прогрессии равен $-3$.

1) 21

2) -54

3) 54

4) -6

По определению, n-й член геометрической прогрессии $(b_n)$ со знаменателем $q$ связан с $(n-1)$-м членом соотношением $b_n = b_{n-1} \cdot q$. Следовательно, второй член прогрессии $b_2$ можно выразить через первый член $b_1$ следующим образом: $b_2 = b_1 \cdot q$.

В условии задачи даны значения второго члена прогрессии и её знаменателя:

$b_2 = 18$

$q = -3$

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти первый член прогрессии $b_1$:

$18 = b_1 \cdot (-3)$

Чтобы найти $b_1$, разделим обе части уравнения на -3:

$b_1 = \frac{18}{-3}$

$b_1 = -6$

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен -6. Это соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: -6

3. Геометрическая прогрессия $(\$b_n\$)$ задана условиями $\$b_1 = 98\$, \$b_{n+1} = -\frac{2}{7}b_n\$. Найдите $\$b_3\$$.

Геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана первым членом $b_1 = 98$ и рекуррентной формулой $b_{n+1} = -\frac{2}{7}b_n$.

По определению геометрической прогрессии, каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число — знаменатель прогрессии $q$. Из заданной формулы $b_{n+1} = -\frac{2}{7}b_n$ видно, что знаменатель прогрессии $q = -\frac{2}{7}$.

Чтобы найти третий член прогрессии $b_3$, нам нужно последовательно найти второй член $b_2$, а затем третий $b_3$.

1. Найдём второй член прогрессии $b_2$, подставив $n=1$ в рекуррентную формулу:
$b_2 = b_{1+1} = -\frac{2}{7} \cdot b_1 = -\frac{2}{7} \cdot 98$
Выполним вычисление:
$b_2 = -\frac{2 \cdot 98}{7} = -2 \cdot \frac{98}{7} = -2 \cdot 14 = -28$

2. Найдём третий член прогрессии $b_3$, подставив $n=2$ в рекуррентную формулу и используя найденное значение $b_2$:
$b_3 = b_{2+1} = -\frac{2}{7} \cdot b_2 = -\frac{2}{7} \cdot (-28)$
Выполним вычисление:
$b_3 = \frac{2 \cdot 28}{7} = 2 \cdot \frac{28}{7} = 2 \cdot 4 = 8$

Таким образом, третий член геометрической прогрессии равен 8.

Ответ: 8

4. Найдите четвёртый член геометрической прогрессии $-125, 100, -80, \dots$.

Данная последовательность является геометрической прогрессией. Обозначим ее члены как $b_n$. Нам даны первые три члена:

$b_1 = -125$

$b_2 = 100$

$b_3 = -80$

Для нахождения четвертого члена прогрессии ($b_4$) сначала необходимо найти ее знаменатель ($q$). Знаменатель геометрической прогрессии — это постоянное число, на которое умножается каждый член прогрессии, чтобы получить следующий. Он вычисляется как отношение любого члена прогрессии к предыдущему.

Вычислим знаменатель $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{100}{-125}$

Сократим эту дробь на 25:

$q = -\frac{4}{5} = -0.8$

Для проверки можно вычислить отношение третьего члена ко второму:

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{-80}{100} = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5} = -0.8$

Знаменатель $q$ действительно равен $-0.8$.

Теперь, чтобы найти четвертый член прогрессии $b_4$, нужно умножить третий член $b_3$ на знаменатель $q$:

$b_4 = b_3 \cdot q$

$b_4 = -80 \cdot (-0.8) = 64$

Таким образом, четвертый член этой геометрической прогрессии равен 64.

Ответ: 64

5. Разность второго и первого членов геометрической прогрессии равна 4, а разность третьего и второго её членов равна 12. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По определению геометрической прогрессии, её второй член $b_2 = b_1 \cdot q$, а третий член $b_3 = b_1 \cdot q^2$.

Из условия задачи известно, что разность второго и первого членов равна 4. Составим первое уравнение:
$b_2 - b_1 = 4$
$b_1 \cdot q - b_1 = 4$
$b_1(q - 1) = 4$

Также известно, что разность третьего и второго членов равна 12. Составим второе уравнение:
$b_3 - b_2 = 12$
$b_1 \cdot q^2 - b_1 \cdot q = 12$
$b_1 q(q - 1) = 12$

Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:
$\begin{cases} b_1(q - 1) = 4 \\ b_1 q(q - 1) = 12 \end{cases}$

Разделим второе уравнение системы на первое. Так как правые части уравнений (4 и 12) не равны нулю, то и левые части не равны нулю, следовательно $b_1 \ne 0$ и $q \ne 1$. Деление является корректным действием.
$\frac{b_1 q(q - 1)}{b_1(q - 1)} = \frac{12}{4}$
После сокращения дроби получаем:
$q = 3$

Теперь найдём первый член прогрессии $b_1$, подставив найденное значение $q=3$ в первое уравнение системы:
$b_1(3 - 1) = 4$
$b_1 \cdot 2 = 4$
$b_1 = \frac{4}{2}$
$b_1 = 2$

Ответ: первый член равен 2, знаменатель равен 3.