Страница 90 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какая из данных последовательностей является геометрической прогрессией?

1) 0,7; 1,4; –2,8; 5,6

2) $-\frac{1}{27}, \frac{1}{9}, -\frac{1}{3}, 1$

3) 5, 20, 80, 200

4) 18, 9, 6, 3

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число $q$, которое называется знаменателем прогрессии. Чтобы проверить, является ли последовательность геометрической прогрессией, нужно вычислить отношение каждого члена к предыдущему и убедиться, что оно постоянно.

Проверим каждую из предложенных последовательностей.

1) 0,7; 1,4; –2,8; 5,6

Найдём отношение второго члена к первому: $\frac{1,4}{0,7} = 2$.

Найдём отношение третьего члена ко второму: $\frac{-2,8}{1,4} = -2$.

Поскольку отношения не равны ($2 \neq -2$), эта последовательность не является геометрической прогрессией.

2) $-\frac{1}{27}; \frac{1}{9}; -\frac{1}{3}; 1$

Найдём отношение второго члена к первому: $q = \frac{\frac{1}{9}}{-\frac{1}{27}} = \frac{1}{9} \cdot (-\frac{27}{1}) = -3$.

Найдём отношение третьего члена ко второму: $q = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{1}{9}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{1} = -3$.

Найдём отношение четвертого члена к третьему: $q = \frac{1}{-\frac{1}{3}} = -3$.

Все отношения равны и составляют $-3$. Следовательно, эта последовательность является геометрической прогрессией.

3) 5; 20; 80; 200

Найдём отношение второго члена к первому: $\frac{20}{5} = 4$.

Найдём отношение третьего члена ко второму: $\frac{80}{20} = 4$.

Найдём отношение четвертого члена к третьему: $\frac{200}{80} = \frac{20}{8} = 2,5$.

Поскольку отношения не равны ($4 \neq 2,5$), эта последовательность не является геометрической прогрессией.

4) 18; 9; 6; 3

Найдём отношение второго члена к первому: $\frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.

Найдём отношение третьего члена ко второму: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

Поскольку отношения не равны ($\frac{1}{2} \neq \frac{2}{3}$), эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Таким образом, единственная последовательность, которая является геометрической прогрессией, — это последовательность под номером 2.

Ответ: 2)

2. Чему равен знаменатель геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_1 = 36$, $b_2 = 9$?

1) 27

2) -27

3) 4

4) $\frac{1}{4}$

Знаменатель геометрической прогрессии ($q$) — это число, на которое нужно умножить предыдущий член прогрессии, чтобы получить следующий. Для нахождения знаменателя необходимо разделить последующий член прогрессии на предыдущий.

Формула для нахождения знаменателя $q$ через два соседних члена $b_n$ и $b_{n+1}$ выглядит следующим образом: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$

По условию задачи даны первый член прогрессии $b_1 = 36$ и второй член $b_2 = 9$.

Подставим эти значения в формулу: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{9}{36}$

Теперь необходимо сократить полученную дробь. Наибольший общий делитель для числителя 9 и знаменателя 36 является 9. Разделим числитель и знаменатель на 9: $q = \frac{9 \div 9}{36 \div 9} = \frac{1}{4}$

Таким образом, знаменатель данной геометрической прогрессии равен $\frac{1}{4}$. Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту 4).

Ответ: $\frac{1}{4}$

3. Геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана условиями $b_1 = -10$, $b_{n+1} = -5b_n$. Найдите $b_3$.

Геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана своим первым членом $b_1 = -10$ и рекуррентной формулой $b_{n+1} = -5b_n$.

Рекуррентная формула $b_{n+1} = -5b_n$ означает, что каждый следующий член прогрессии в $-5$ раз больше предыдущего. Следовательно, знаменатель геометрической прогрессии $q$ равен $-5$.

Чтобы найти третий член прогрессии $b_3$, мы можем последовательно вычислить члены прогрессии, начиная с первого.

1. Найдем второй член прогрессии $b_2$, подставив $n=1$ в рекуррентную формулу:
$b_2 = -5 \cdot b_1 = -5 \cdot (-10) = 50$.

2. Найдем третий член прогрессии $b_3$, подставив $n=2$ в ту же формулу:
$b_3 = -5 \cdot b_2 = -5 \cdot 50 = -250$.

Также можно воспользоваться общей формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Для нахождения $b_3$ подставим известные значения $b_1 = -10$, $q = -5$ и $n=3$:
$b_3 = -10 \cdot (-5)^{3-1} = -10 \cdot (-5)^2 = -10 \cdot 25 = -250$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: -250

4. Выписано несколько членов геометрической прогрессии: ..., 24, 8, x, $\frac{8}{9}$, ... Найдите значение x.

Дана последовательность членов геометрической прогрессии: ..., 24, 8, $x$, $\frac{8}{9}$, ... .

Для нахождения значения $x$ можно воспользоваться определением геометрической прогрессии. В геометрической прогрессии каждый последующий член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число — знаменатель прогрессии, который обозначается буквой $q$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$, используя два известных идущих подряд члена: 24 и 8. Для этого разделим последующий член на предыдущий:

$q = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.

Теперь, зная знаменатель, можно найти $x$. Член $x$ следует за членом 8, поэтому для его нахождения нужно 8 умножить на знаменатель $q$:

$x = 8 \cdot q = 8 \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$.

Для проверки правильности результата можно найти следующий член, умножив полученное значение $x$ на $q$. Он должен быть равен следующему известному члену, то есть $\frac{8}{9}$.

$x \cdot q = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{8 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{8}{9}$.

Результат совпадает с условием, следовательно, значение $x$ найдено верно.

Существует и второй способ решения, использующий характеристическое свойство геометрической прогрессии: квадрат любого члена прогрессии (начиная со второго) равен произведению его соседних членов. Для трёх последовательных членов $b_{n-1}, b_n, b_{n+1}$ выполняется равенство $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.

Рассмотрим тройку последовательных членов 24, 8, $x$. В этой тройке число 8 является средним членом.

Применяя свойство, получаем уравнение:

$8^2 = 24 \cdot x$

$64 = 24x$

Выразим $x$:

$x = \frac{64}{24}$

Сократив дробь на 8, получаем тот же результат:

$x = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$

5. Найдите седьмой член геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_4 = 3, b_6 = 75.$

Для решения задачи воспользуемся определением геометрической прогрессии. Каждый следующий член прогрессии получается из предыдущего умножением на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии ($q$). Таким образом, $b_{n+1} = b_n \cdot q$.

В общем виде связь между любыми двумя членами геометрической прогрессии $b_m$ и $b_k$ выражается формулой: $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$.

Нам даны четвертый ($b_4$) и шестой ($b_6$) члены прогрессии:

$b_4 = 3$

$b_6 = 75$

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$, используя известные нам члены. Применим формулу для $m=6$ и $k=4$:

$b_6 = b_4 \cdot q^{6-4}$

Подставим известные значения в формулу:

$75 = 3 \cdot q^2$

Чтобы найти $q^2$, разделим обе части уравнения на 3:

$q^2 = \frac{75}{3}$

$q^2 = 25$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для знаменателя $q$:

$q = \sqrt{25} = 5$ или $q = -\sqrt{25} = -5$.

Теперь, зная знаменатель, мы можем найти седьмой член прогрессии ($b_7$). Для этого нужно умножить шестой член ($b_6$) на знаменатель $q$:

$b_7 = b_6 \cdot q$

Рассмотрим оба возможных случая для $q$:

1. Если $q = 5$, то:

$b_7 = 75 \cdot 5 = 375$

2. Если $q = -5$, то:

$b_7 = 75 \cdot (-5) = -375$

Так как в условии не было дополнительных ограничений на знак членов прогрессии, оба варианта являются верными.

Ответ: $375$ или $-375$.