Страница 85 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равна сумма шести первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = 2$, $a_6 = 18$?

1) 60

2) 120

3) 30

4) 40

Для того чтобы найти сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии, используется формула:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

В данной задаче требуется найти сумму шести первых членов ($n=6$). По условию нам известны первый член прогрессии $a_1 = 2$ и шестой член $a_6 = 18$.

Подставим эти значения в формулу для $S_6$:

$S_6 = \frac{a_1 + a_6}{2} \cdot 6$

$S_6 = \frac{2 + 18}{2} \cdot 6$

Выполним вычисления:

$S_6 = \frac{20}{2} \cdot 6$

$S_6 = 10 \cdot 6 = 60$

Сумма шести первых членов данной арифметической прогрессии равна 60.

Ответ: 60.

2. Чему равна сумма девяти первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = -6$, а разность прогрессии равна 3?

1) 81

2) 72

3) 54

4) 48

Для решения этой задачи необходимо найти сумму первых девяти членов арифметической прогрессии $(a_n)$. Воспользуемся стандартной формулой для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Здесь $S_n$ — это сумма первых $n$ членов, $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — число членов.

Из условия задачи нам известны все необходимые значения:

Первый член прогрессии $a_1 = -6$.

Разность прогрессии $d = 3$.

Количество членов, сумму которых нужно найти, $n = 9$.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти $S_9$:

$S_9 = \frac{2 \cdot (-6) + 3 \cdot (9-1)}{2} \cdot 9$

Теперь последовательно выполним вычисления:

1. Сначала вычислим выражение в скобках: $9 - 1 = 8$.

$S_9 = \frac{2 \cdot (-6) + 3 \cdot 8}{2} \cdot 9$

2. Далее выполним умножение в числителе дроби:

$S_9 = \frac{-12 + 24}{2} \cdot 9$

3. Сложим числа в числителе:

$S_9 = \frac{12}{2} \cdot 9$

4. Выполним деление:

$S_9 = 6 \cdot 9$

5. Найдем окончательный результат:

$S_9 = 54$

Таким образом, сумма девяти первых членов данной арифметической прогрессии равна 54. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 54

3. Арифметическая прогрессия ($a_n$) задана формулой $n$-го члена $a_n = 1,4 - 0,3n$. Найдите сумму двадцати первых членов прогрессии.

Арифметическая прогрессия $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена: $a_n = 1,4 - 0,3n$.

Для нахождения суммы двадцати первых членов прогрессии ($S_{20}$) воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

В данном случае $n = 20$, поэтому нам нужно найти первый ($a_1$) и двадцатый ($a_{20}$) члены прогрессии.

1. Найдем первый член прогрессии, подставив $n = 1$ в заданную формулу:

$a_1 = 1,4 - 0,3 \cdot 1 = 1,4 - 0,3 = 1,1$

2. Найдем двадцатый член прогрессии, подставив $n = 20$ в заданную формулу:

$a_{20} = 1,4 - 0,3 \cdot 20 = 1,4 - 6 = -4,6$

3. Теперь подставим найденные значения $a_1$ и $a_{20}$ в формулу для суммы $S_{20}$:

$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{1,1 + (-4,6)}{2} \cdot 20 = \frac{1,1 - 4,6}{2} \cdot 20 = \frac{-3,5}{2} \cdot 20$

Выполним вычисления:

$S_{20} = -3,5 \cdot 10 = -35$

Ответ: -35

4. В каждом ряду концертного зала, начиная со второго, на два места больше, чем в предыдущем. Всего в концертном зале 20 рядов и 860 мест. Сколько мест в первом ряду?

Данная задача описывает арифметическую прогрессию, где количество мест в каждом ряду является членом прогрессии. Обозначим количество мест в первом ряду как $a_1$.

Нам известны следующие параметры:

• Количество рядов (число членов прогрессии) $n = 20$.
• Разность арифметической прогрессии $d = 2$, так как в каждом следующем ряду на 2 места больше.
• Общее количество мест в зале (сумма $n$ членов прогрессии) $S_n = 860$.

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии выглядит так:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти $a_1$:

$860 = \frac{2a_1 + 2(20-1)}{2} \cdot 20$

Упростим выражение:

$860 = (2a_1 + 2 \cdot 19) \cdot \frac{20}{2}$

$860 = (2a_1 + 38) \cdot 10$

Разделим обе части уравнения на 10:

$86 = 2a_1 + 38$

Теперь найдем $2a_1$:

$2a_1 = 86 - 38$

$2a_1 = 48$

И, наконец, найдем $a_1$:

$a_1 = \frac{48}{2}$

$a_1 = 24$

Таким образом, в первом ряду концертного зала 24 места.

Ответ: 24

5. Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, кратных 4.

Двузначные натуральные числа, кратные 4, представляют собой последовательность, которая является арифметической прогрессией. Чтобы найти сумму этих чисел, нам нужно определить первый член, последний член и их количество.

1. Определение параметров арифметической прогрессии.
Первое двузначное натуральное число — это 10. Наименьшее двузначное число, которое делится на 4 без остатка, — это 12. Следовательно, первый член прогрессии $a_1 = 12$.
Последнее двузначное натуральное число — это 99. Наибольшее двузначное число, которое делится на 4 без остатка, — это 96 (так как $96 \div 4 = 24$). Следовательно, последний член прогрессии $a_n = 96$.
Разность прогрессии $d$ равна 4, так как мы рассматриваем числа, кратные 4.

2. Нахождение количества членов прогрессии.
Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим известные значения, чтобы найти количество членов $n$:
$96 = 12 + (n-1) \cdot 4$
$96 - 12 = (n-1) \cdot 4$
$84 = (n-1) \cdot 4$
$n-1 = \frac{84}{4}$
$n-1 = 21$
$n = 22$
Таким образом, существует 22 двузначных натуральных числа, кратных 4.

3. Вычисление суммы прогрессии.
Теперь найдем сумму этих 22 чисел, используя формулу суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_{22} = \frac{12 + 96}{2} \cdot 22$
$S_{22} = \frac{108}{2} \cdot 22$
$S_{22} = 54 \cdot 22$
$S_{22} = 1188$

Ответ: 1188