Страница 79 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Последовательность ($a_n$) задана формулой $n$-го члена

$a_n = \frac{(-1)^n \cdot 17}{n}$. Какое из данных чисел не является членом этой последовательности?

1) $-\frac{17}{49}$

2) $\frac{17}{24}$

3) $-\frac{17}{28}$

4) $\frac{17}{35}$

Последовательность задана формулой $n$-го члена $a_n = \frac{(-1)^n \cdot 17}{n}$.

Чтобы определить, является ли число членом этой последовательности, нужно проверить, существует ли такое натуральное число $n$, при котором формула дает это число. Проанализируем свойства членов этой последовательности:

• Абсолютная величина члена $a_n$ равна $|\frac{(-1)^n \cdot 17}{n}| = \frac{17}{n}$. Это означает, что знаменатель дроби должен соответствовать номеру члена $n$.
• Знак члена последовательности определяется множителем $(-1)^n$ и зависит от четности номера $n$:
  • Если $n$ — четное число, то $(-1)^n = 1$, и член последовательности $a_n = \frac{17}{n}$ будет положительным.
  • Если $n$ — нечетное число, то $(-1)^n = -1$, и член последовательности $a_n = -\frac{17}{n}$ будет отрицательным.

Проверим каждое из предложенных чисел на соответствие этим свойствам.

Для этого числа знаменатель равен 49, поэтому предполагаемый номер члена $n=49$. Число $n=49$ является нечетным. Для нечетного $n$ член последовательности должен быть отрицательным. Знак числа $-\frac{17}{49}$ — отрицательный. Условия выполняются, так как $a_{49} = \frac{(-1)^{49} \cdot 17}{49} = -\frac{17}{49}$. Следовательно, это число является членом последовательности.

Для этого числа знаменатель равен 24, поэтому предполагаемый номер члена $n=24$. Число $n=24$ является четным. Для четного $n$ член последовательности должен быть положительным. Знак числа $\frac{17}{24}$ — положительный. Условия выполняются, так как $a_{24} = \frac{(-1)^{24} \cdot 17}{24} = \frac{17}{24}$. Следовательно, это число является членом последовательности.

Для этого числа знаменатель равен 28, поэтому предполагаемый номер члена $n=28$. Число $n=28$ является четным. Для четного $n$ член последовательности должен быть положительным. Однако, заданное число $-\frac{17}{28}$ является отрицательным. Происходит противоречие: $a_{28} = \frac{(-1)^{28} \cdot 17}{28} = \frac{17}{28}$, а не $-\frac{17}{28}$. Следовательно, это число не является членом последовательности.

Для этого числа знаменатель равен 35, поэтому предполагаемый номер члена $n=35$. Число $n=35$ является нечетным. Для нечетного $n$ член последовательности должен быть отрицательным. Однако, заданное число $\frac{17}{35}$ является положительным. Происходит противоречие: $a_{35} = \frac{(-1)^{35} \cdot 17}{35} = -\frac{17}{35}$, а не $\frac{17}{35}$. Следовательно, это число также не является членом последовательности.

В задании нужно указать одно число, которое не является членом последовательности. Анализ показал, что таких числа два: $-\frac{17}{28}$ (вариант 3) и $\frac{17}{35}$ (вариант 4). Это говорит о возможной опечатке в условии задачи. В стандартных тестах с выбором одного ответа правильным обычно считается первый по порядку вариант, который удовлетворяет условию вопроса.

Ответ: 3

2. Чему равен третий член последовательности ($b_n$), если

$b_1 = -1$, $b_2 = 3$, $b_{n+2} = 3b_{n+1} - 2b_n$?

1) $11$

2) $7$

3) $-11$

4) $-7$

Для того чтобы найти третий член последовательности $(b_n)$, воспользуемся данной в условии рекуррентной формулой: $b_{n+2} = 3b_{n+1} - 2b_n$.

Чтобы вычислить $b_3$, нам нужно подставить в формулу такое значение $n$, чтобы индекс $n+2$ стал равен 3. Очевидно, что для этого нужно взять $n=1$.

Подставим $n=1$ в рекуррентную формулу:

$b_{1+2} = 3b_{1+1} - 2b_1$

$b_3 = 3b_2 - 2b_1$

Теперь подставим известные из условия значения $b_1 = -1$ и $b_2 = 3$ в полученное выражение:

$b_3 = 3 \cdot 3 - 2 \cdot (-1)$

$b_3 = 9 - (-2)$

$b_3 = 9 + 2$

$b_3 = 11$

Третий член последовательности равен 11, что соответствует варианту ответа 1.

Ответ: 11

3. Каждый член последовательности ( $a_n$ ) равен остатку от деления его номера на 5. Найдите:

1) $a_{13}$;

2) $a_{40}$;

3) $a_{59}$.

По условию задачи, каждый член последовательности $(a_n)$ равен остатку от деления его номера $n$ на 5. Это означает, что для нахождения значения $a_n$, нужно выполнить операцию деления с остатком: $a_n = n \pmod 5$.

1) a₁₃;
Чтобы найти $a_{13}$, необходимо найти остаток от деления номера 13 на 5. Выполним деление с остатком: $13 = 5 \cdot 2 + 3$. Остаток от деления равен 3. Таким образом, $a_{13} = 3$.
Ответ: 3

2) a₄₀;
Чтобы найти $a_{40}$, необходимо найти остаток от деления номера 40 на 5. Выполним деление с остатком: $40 = 5 \cdot 8 + 0$. Число 40 делится на 5 нацело, поэтому остаток равен 0. Таким образом, $a_{40} = 0$.
Ответ: 0

3) a₅₉;
Чтобы найти $a_{59}$, необходимо найти остаток от деления номера 59 на 5. Выполним деление с остатком: $59 = 5 \cdot 11 + 4$. Остаток от деления равен 4. Таким образом, $a_{59} = 4$.
Ответ: 4

4. Последовательность ($c_n$) задана формулой $n$-го члена $c_n = n^2 - 8$. Является ли членом этой последовательности число: 1) 56; 2) 80? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

Чтобы определить, является ли заданное число членом последовательности $c_n = n^2 - 8$, необходимо подставить это число вместо $c_n$ и найти значение $n$. Если $n$ окажется натуральным числом (целым и положительным), то данное число является членом последовательности с номером $n$.

1) 56

Проверим, является ли число 56 членом последовательности. Для этого решим уравнение:
$c_n = 56$
$n^2 - 8 = 56$
$n^2 = 56 + 8$
$n^2 = 64$
Так как номер члена последовательности $n$ должен быть положительным, находим арифметический корень:
$n = \sqrt{64}$
$n = 8$
Поскольку мы получили натуральное число $n=8$, число 56 является членом этой последовательности.
Ответ: Да, является. Это 8-й член последовательности.

2) 80

Проверим, является ли число 80 членом последовательности. Решим уравнение:
$c_n = 80$
$n^2 - 8 = 80$
$n^2 = 80 + 8$
$n^2 = 88$
$n = \sqrt{88}$
Поскольку корень из 88 не является целым числом ($\sqrt{81} = 9$, а $\sqrt{100} = 10$), то не существует натурального номера $n$, для которого член последовательности был бы равен 80.
Ответ: Нет, не является.

5. Последовательность ($x_n$) задана формулой $n$-го члена $x_n = -n^2 + 13n - 2$. Сколько членов этой последовательности больше 20?

Для того чтобы найти, сколько членов последовательности $(x_n)$, заданной формулой $x_n = -n^2 + 13n - 2$, больше 20, необходимо решить неравенство $x_n > 20$ относительно $n$, где $n$ — натуральное число.

Составим и решим неравенство:
$-n^2 + 13n - 2 > 20$

Перенесём все слагаемые в левую часть:
$-n^2 + 13n - 2 - 20 > 0$
$-n^2 + 13n - 22 > 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:
$n^2 - 13n + 22 < 0$

Для решения этого квадратичного неравенства найдём корни соответствующего уравнения $n^2 - 13n + 22 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета или формулой для корней квадратного уравнения.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 22 = 169 - 88 = 81$.
Корни уравнения равны:
$n_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{81}}{2} = \frac{13 - 9}{2} = 2$
$n_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{81}}{2} = \frac{13 + 9}{2} = 11$

Графиком функции $y = n^2 - 13n + 22$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции меньше нуля ($y < 0$) на интервале между корнями.
Таким образом, решение неравенства $n^2 - 13n + 22 < 0$ есть интервал $2 < n < 11$.

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Найдём все натуральные числа, которые находятся в интервале $(2; 11)$:
$n \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

Подсчитав количество этих чисел, получим, что их 8.
Ответ: 8