Страница 77 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Последовательность ($a_n$) задана формулой n-го члена $a_n = \frac{n^2}{2}$. Чему равен шестой член последовательности?

1) 3

2) 6

3) 12

4) 18

Последовательность $(a_n)$ задана формулой n-го члена: $a_n = \frac{n^2}{2}$.

Чтобы найти шестой член последовательности, необходимо подставить в эту формулу значение $n=6$.

Выполним подстановку и расчет:

$a_6 = \frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18$

Таким образом, шестой член последовательности равен 18, что соответствует варианту ответа 4).

Ответ: 18

2. Чему равен третий член последовательности $(b_n)$, если

$b_1 = 2, b_{n+1} = 5b_n - 3?$

1) 7 2) 12 3) 32 4) 35

Для того чтобы найти третий член последовательности $(b_n)$, нужно сначала найти второй член, используя заданную рекуррентную формулу $b_{n+1} = 5b_n - 3$ и известное значение первого члена $b_1 = 2$.

1. Находим второй член последовательности ($b_2$):

Подставим $n=1$ в формулу:

$b_2 = b_{1+1} = 5b_1 - 3$

Поскольку $b_1 = 2$, получаем:

$b_2 = 5 \cdot 2 - 3 = 10 - 3 = 7$

2. Находим третий член последовательности ($b_3$):

Теперь, зная что $b_2 = 7$, подставим $n=2$ в ту же формулу:

$b_3 = b_{2+1} = 5b_2 - 3$

Подставим значение $b_2 = 7$:

$b_3 = 5 \cdot 7 - 3 = 35 - 3 = 32$

Таким образом, третий член последовательности равен 32, что соответствует варианту ответа 3).

Ответ: 32

3. Каждый член последовательности ($a_n$) равен остатку от деления его номера на 3. Найдите:

1) $a_{10}$;

2) $a_{20}$;

3) $a_{27}$.

По условию задачи, каждый член последовательности $(a_n)$ равен остатку от деления его номера $n$ на 3. Это означает, что для нахождения любого члена $a_n$ нужно разделить его номер $n$ на 3 и взять остаток от этого деления.

1) $a_{10}$;
Чтобы найти $a_{10}$, найдем остаток от деления числа 10 на 3.
$10 \div 3 = 3$ с остатком 1.
Это можно записать в виде формулы: $10 = 3 \cdot 3 + 1$.
Остаток равен 1, следовательно, $a_{10} = 1$.
Ответ: 1

2) $a_{20}$;
Чтобы найти $a_{20}$, найдем остаток от деления числа 20 на 3.
$20 \div 3 = 6$ с остатком 2.
Это можно записать в виде формулы: $20 = 3 \cdot 6 + 2$.
Остаток равен 2, следовательно, $a_{20} = 2$.
Ответ: 2

3) $a_{27}$.
Чтобы найти $a_{27}$, найдем остаток от деления числа 27 на 3.
$27 \div 3 = 9$ без остатка, то есть остаток равен 0.
Это можно записать в виде формулы: $27 = 3 \cdot 9 + 0$.
Остаток равен 0, следовательно, $a_{27} = 0$.
Ответ: 0

4. Последовательность ($c_n$) задана формулой $n$-го члена $c_n = n^2 + 1$. Является ли членом этой последовательности число:

1) 17;

2) 25?

В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

Для того чтобы определить, является ли данное число членом последовательности, заданной формулой $c_n = n^2 + 1$, необходимо подставить это число вместо $c_n$ и решить полученное уравнение относительно $n$. Если в результате решения мы получим натуральное число $n$ (то есть целое положительное число), то данное число является членом последовательности, а найденное значение $n$ — его порядковым номером.

1) 17

Проверим, является ли число 17 членом последовательности. Для этого решим уравнение, подставив 17 вместо $c_n$:

$n^2 + 1 = 17$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$n^2 = 17 - 1$

$n^2 = 16$

Извлечем квадратный корень:

$n = \sqrt{16}$

$n = 4$

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, мы рассматриваем только положительный корень. Так как $n = 4$ является натуральным числом, то число 17 является членом данной последовательности.

Ответ: да, является. Номер этого члена — 4.

2) 25

Аналогично проверим число 25:

$n^2 + 1 = 25$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$n^2 = 25 - 1$

$n^2 = 24$

Извлечем квадратный корень:

$n = \sqrt{24}$

Число $\sqrt{24}$ не является натуральным (и даже целым), так как $4^2 = 16$, а $5^2 = 25$. Следовательно, не существует натурального номера $n$, для которого член последовательности был бы равен 25.

Ответ: нет, не является.

5. Последовательность $(x_n)$ задана формулой n-го члена $x_n = 2n - 7$. Сколько членов этой последовательности меньше 4?

По условию, последовательность $(x_n)$ задана формулой n-го члена $x_n = 2n - 7$.

Чтобы найти, сколько членов этой последовательности меньше 4, необходимо решить неравенство:

$x_n < 4$

Подставим в неравенство выражение для $x_n$:

$2n - 7 < 4$

Решим полученное линейное неравенство относительно $n$. Для этого прибавим 7 к обеим частям неравенства:

$2n < 4 + 7$

$2n < 11$

Разделим обе части на 2:

$n < \frac{11}{2}$

$n < 5.5$

Так как $n$ является номером члена последовательности, оно должно быть натуральным числом ($n \in \{1, 2, 3, \dots\}$).

Натуральные числа, которые удовлетворяют условию $n < 5.5$, это 1, 2, 3, 4, 5.

Таким образом, существует 5 номеров $n$, для которых члены последовательности $x_n$ будут меньше 4.

Ответ: 5.