Номер 4, страница 77, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Последовательность ($c_n$) задана формулой $n$-го члена $c_n = n^2 + 1$. Является ли членом этой последовательности число:

1) 17;

2) 25?

В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

Для того чтобы определить, является ли данное число членом последовательности, заданной формулой $c_n = n^2 + 1$, необходимо подставить это число вместо $c_n$ и решить полученное уравнение относительно $n$. Если в результате решения мы получим натуральное число $n$ (то есть целое положительное число), то данное число является членом последовательности, а найденное значение $n$ — его порядковым номером.

1) 17

Проверим, является ли число 17 членом последовательности. Для этого решим уравнение, подставив 17 вместо $c_n$:

$n^2 + 1 = 17$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$n^2 = 17 - 1$

$n^2 = 16$

Извлечем квадратный корень:

$n = \sqrt{16}$

$n = 4$

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, мы рассматриваем только положительный корень. Так как $n = 4$ является натуральным числом, то число 17 является членом данной последовательности.

Ответ: да, является. Номер этого члена — 4.

2) 25

Аналогично проверим число 25:

$n^2 + 1 = 25$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$n^2 = 25 - 1$

$n^2 = 24$

Извлечем квадратный корень:

$n = \sqrt{24}$

Число $\sqrt{24}$ не является натуральным (и даже целым), так как $4^2 = 16$, а $5^2 = 25$. Следовательно, не существует натурального номера $n$, для которого член последовательности был бы равен 25.

Ответ: нет, не является.