Номер 1, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Последовательность ($a_n$) задана формулой $n$-го члена

$a_n = \frac{(-1)^n \cdot 17}{n}$. Какое из данных чисел не является членом этой последовательности?

1) $-\frac{17}{49}$

2) $\frac{17}{24}$

3) $-\frac{17}{28}$

4) $\frac{17}{35}$

Последовательность задана формулой $n$-го члена $a_n = \frac{(-1)^n \cdot 17}{n}$.

Чтобы определить, является ли число членом этой последовательности, нужно проверить, существует ли такое натуральное число $n$, при котором формула дает это число. Проанализируем свойства членов этой последовательности:

• Абсолютная величина члена $a_n$ равна $|\frac{(-1)^n \cdot 17}{n}| = \frac{17}{n}$. Это означает, что знаменатель дроби должен соответствовать номеру члена $n$.
• Знак члена последовательности определяется множителем $(-1)^n$ и зависит от четности номера $n$:
  • Если $n$ — четное число, то $(-1)^n = 1$, и член последовательности $a_n = \frac{17}{n}$ будет положительным.
  • Если $n$ — нечетное число, то $(-1)^n = -1$, и член последовательности $a_n = -\frac{17}{n}$ будет отрицательным.

Проверим каждое из предложенных чисел на соответствие этим свойствам.

Для этого числа знаменатель равен 49, поэтому предполагаемый номер члена $n=49$. Число $n=49$ является нечетным. Для нечетного $n$ член последовательности должен быть отрицательным. Знак числа $-\frac{17}{49}$ — отрицательный. Условия выполняются, так как $a_{49} = \frac{(-1)^{49} \cdot 17}{49} = -\frac{17}{49}$. Следовательно, это число является членом последовательности.

Для этого числа знаменатель равен 24, поэтому предполагаемый номер члена $n=24$. Число $n=24$ является четным. Для четного $n$ член последовательности должен быть положительным. Знак числа $\frac{17}{24}$ — положительный. Условия выполняются, так как $a_{24} = \frac{(-1)^{24} \cdot 17}{24} = \frac{17}{24}$. Следовательно, это число является членом последовательности.

Для этого числа знаменатель равен 28, поэтому предполагаемый номер члена $n=28$. Число $n=28$ является четным. Для четного $n$ член последовательности должен быть положительным. Однако, заданное число $-\frac{17}{28}$ является отрицательным. Происходит противоречие: $a_{28} = \frac{(-1)^{28} \cdot 17}{28} = \frac{17}{28}$, а не $-\frac{17}{28}$. Следовательно, это число не является членом последовательности.

Для этого числа знаменатель равен 35, поэтому предполагаемый номер члена $n=35$. Число $n=35$ является нечетным. Для нечетного $n$ член последовательности должен быть отрицательным. Однако, заданное число $\frac{17}{35}$ является положительным. Происходит противоречие: $a_{35} = \frac{(-1)^{35} \cdot 17}{35} = -\frac{17}{35}$, а не $\frac{17}{35}$. Следовательно, это число также не является членом последовательности.

В задании нужно указать одно число, которое не является членом последовательности. Анализ показал, что таких числа два: $-\frac{17}{28}$ (вариант 3) и $\frac{17}{35}$ (вариант 4). Это говорит о возможной опечатке в условии задачи. В стандартных тестах с выбором одного ответа правильным обычно считается первый по порядку вариант, который удовлетворяет условию вопроса.

Ответ: 3