Номер 1, страница 80, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Последовательность $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена

$a_n = \frac{(-1)^{n+1} \cdot 11}{n}$.

Какое из данных чисел не является членом этой последовательности?

1) $ -\frac{11}{12} $

2) $ \frac{11}{15} $

3) $ \frac{11}{19} $

4) $ \frac{11}{18} $

Последовательность $(a_n)$ задана формулой $a_n = \frac{(-1)^{n+1} \cdot 11}{n}$, где $n$ — натуральное число.

Проанализируем знак члена последовательности в зависимости от четности номера $n$:

• Если $n$ — нечетное число, то показатель степени $(n+1)$ является четным, и $(-1)^{n+1} = 1$. Следовательно, $a_n = \frac{11}{n}$. Член последовательности будет положительным.
• Если $n$ — четное число, то показатель степени $(n+1)$ является нечетным, и $(-1)^{n+1} = -1$. Следовательно, $a_n = -\frac{11}{n}$. Член последовательности будет отрицательным.

Таким образом, положительные члены последовательности соответствуют нечетным номерам $n$, а отрицательные — четным. Проверим каждое из предложенных чисел.

1) $-\frac{11}{12}$

Данное число отрицательное, поэтому его номер $n$ должен быть четным. Приравниваем $a_n = -\frac{11}{12}$ и используем формулу для четного $n$: $-\frac{11}{n} = -\frac{11}{12}$. Отсюда $n=12$. Так как $12$ — это натуральное четное число, то $-\frac{11}{12}$ является членом последовательности.

2) $\frac{11}{15}$

Данное число положительное, поэтому его номер $n$ должен быть нечетным. Приравниваем $a_n = \frac{11}{15}$ и используем формулу для нечетного $n$: $\frac{11}{n} = \frac{11}{15}$. Отсюда $n=15$. Так как $15$ — это натуральное нечетное число, то $\frac{11}{15}$ является членом последовательности.

3) $\frac{11}{19}$

Данное число положительное, поэтому его номер $n$ должен быть нечетным. Приравниваем $a_n = \frac{11}{19}$ и используем формулу для нечетного $n$: $\frac{11}{n} = \frac{11}{19}$. Отсюда $n=19$. Так как $19$ — это натуральное нечетное число, то $\frac{11}{19}$ является членом последовательности.

4) $\frac{11}{18}$

Данное число положительное, поэтому его номер $n$ должен быть нечетным. Если предположить, что это число является членом последовательности, то из $\frac{11}{n} = \frac{11}{18}$ следует, что $n=18$. Однако, $18$ — это четное число, что противоречит требованию нечетности номера для положительного члена. Для $n=18$ (четного номера) член последовательности должен быть отрицательным: $a_{18} = -\frac{11}{18}$. Следовательно, число $\frac{11}{18}$ не может быть членом данной последовательности.

Ответ: $\frac{11}{18}$