Номер 5, страница 80, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Последовательность $(x_n)$ задана формулой $n$-го члена $x_n = -n^2 + 17n + 10$. Сколько членов этой последовательности больше 40?

Чтобы определить, сколько членов последовательности $(x_n)$ больше 40, нужно решить неравенство $x_n > 40$.

Подставим заданную формулу $n$-го члена $x_n = -n^2 + 17n + 10$ в неравенство:
$-n^2 + 17n + 10 > 40$

Перенесем 40 в левую часть неравенства, чтобы получить квадратное неравенство:
$-n^2 + 17n + 10 - 40 > 0$
$-n^2 + 17n - 30 > 0$

Для удобства решения умножим обе части неравенства на -1. При этом знак неравенства изменится на противоположный:
$n^2 - 17n + 30 < 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $n^2 - 17n + 30 = 0$, чтобы найти его корни. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней через дискриминант.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 289 - 120 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения:
$n_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$n_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Мы решаем неравенство $n^2 - 17n + 30 < 0$. Графиком функции $y = n^2 - 17n + 30$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше нуля (то есть парабола находится ниже оси абсцисс) на интервале между корнями.
Следовательно, решение неравенства есть интервал $(2; 15)$.

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Нам нужно найти все натуральные числа, которые удовлетворяют неравенству $2 < n < 15$.
Такими числами являются: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

Чтобы найти их количество, можно из последнего числа вычесть первое и прибавить 1:
$14 - 3 + 1 = 12$.
Таким образом, 12 членов последовательности больше 40.

Ответ: 12