Страница 80 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Последовательность $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена

$a_n = \frac{(-1)^{n+1} \cdot 11}{n}$.

Какое из данных чисел не является членом этой последовательности?

1) $ -\frac{11}{12} $

2) $ \frac{11}{15} $

3) $ \frac{11}{19} $

4) $ \frac{11}{18} $

Последовательность $(a_n)$ задана формулой $a_n = \frac{(-1)^{n+1} \cdot 11}{n}$, где $n$ — натуральное число.

Проанализируем знак члена последовательности в зависимости от четности номера $n$:

• Если $n$ — нечетное число, то показатель степени $(n+1)$ является четным, и $(-1)^{n+1} = 1$. Следовательно, $a_n = \frac{11}{n}$. Член последовательности будет положительным.
• Если $n$ — четное число, то показатель степени $(n+1)$ является нечетным, и $(-1)^{n+1} = -1$. Следовательно, $a_n = -\frac{11}{n}$. Член последовательности будет отрицательным.

Таким образом, положительные члены последовательности соответствуют нечетным номерам $n$, а отрицательные — четным. Проверим каждое из предложенных чисел.

1) $-\frac{11}{12}$

Данное число отрицательное, поэтому его номер $n$ должен быть четным. Приравниваем $a_n = -\frac{11}{12}$ и используем формулу для четного $n$: $-\frac{11}{n} = -\frac{11}{12}$. Отсюда $n=12$. Так как $12$ — это натуральное четное число, то $-\frac{11}{12}$ является членом последовательности.

2) $\frac{11}{15}$

Данное число положительное, поэтому его номер $n$ должен быть нечетным. Приравниваем $a_n = \frac{11}{15}$ и используем формулу для нечетного $n$: $\frac{11}{n} = \frac{11}{15}$. Отсюда $n=15$. Так как $15$ — это натуральное нечетное число, то $\frac{11}{15}$ является членом последовательности.

3) $\frac{11}{19}$

Данное число положительное, поэтому его номер $n$ должен быть нечетным. Приравниваем $a_n = \frac{11}{19}$ и используем формулу для нечетного $n$: $\frac{11}{n} = \frac{11}{19}$. Отсюда $n=19$. Так как $19$ — это натуральное нечетное число, то $\frac{11}{19}$ является членом последовательности.

4) $\frac{11}{18}$

Данное число положительное, поэтому его номер $n$ должен быть нечетным. Если предположить, что это число является членом последовательности, то из $\frac{11}{n} = \frac{11}{18}$ следует, что $n=18$. Однако, $18$ — это четное число, что противоречит требованию нечетности номера для положительного члена. Для $n=18$ (четного номера) член последовательности должен быть отрицательным: $a_{18} = -\frac{11}{18}$. Следовательно, число $\frac{11}{18}$ не может быть членом данной последовательности.

Ответ: $\frac{11}{18}$

2. Чему равен третий член последовательности $(b_n)$, если $b_1 = 2, b_2 = -4, b_{n+2} = 2b_n - 5b_{n+1}$?

1) -16

2) 24

3) 16

4) -24

По условию задачи нам даны первые два члена последовательности $(b_n)$ и рекуррентная формула, связывающая каждый последующий член с двумя предыдущими:

$b_1 = 2$
$b_2 = -4$
$b_{n+2} = 2b_n - 5b_{n+1}$

Нам необходимо найти третий член последовательности, то есть $b_3$.

Для этого в рекуррентной формуле нужно выбрать такое значение $n$, чтобы индекс $n+2$ был равен 3.
$n+2 = 3$
$n = 3 - 2$
$n = 1$

Теперь подставим $n=1$ в рекуррентную формулу:
$b_{1+2} = 2b_1 - 5b_{1+1}$
$b_3 = 2b_1 - 5b_2$

Мы знаем значения $b_1$ и $b_2$. Подставим их в полученное выражение:
$b_3 = 2 \cdot (2) - 5 \cdot (-4)$

Выполним арифметические действия:
$b_3 = 4 - (-20)$
$b_3 = 4 + 20$
$b_3 = 24$

Третий член последовательности равен 24.

Ответ: 24

3. Каждый член последовательности $(a_n)$ равен остатку от деления его номера на 6. Найдите:

1) $a_{20}$;

2) $a_{35}$;

3) $a_{48}$.

По условию задачи, каждый член последовательности $(a_n)$ определяется как остаток от деления его номера $n$ на 6. Это можно записать с помощью операции нахождения остатка от деления: $a_n = n \pmod{6}$.

1) $a_{20}$

Чтобы найти $a_{20}$, необходимо найти остаток от деления числа 20 на 6.

Выполним деление с остатком:

$20 : 6 = 3$ (остаток 2)

Это можно записать в виде формулы: $20 = 6 \cdot 3 + 2$.

Следовательно, остаток равен 2.

Ответ: 2

2) $a_{35}$

Чтобы найти $a_{35}$, необходимо найти остаток от деления числа 35 на 6.

Выполним деление с остатком:

$35 : 6 = 5$ (остаток 5)

Это можно записать в виде формулы: $35 = 6 \cdot 5 + 5$.

Следовательно, остаток равен 5.

Ответ: 5

3) $a_{48}$

Чтобы найти $a_{48}$, необходимо найти остаток от деления числа 48 на 6.

Выполним деление с остатком:

$48 : 6 = 8$ (остаток 0)

Это можно записать в виде формулы: $48 = 6 \cdot 8 + 0$.

Следовательно, остаток равен 0.

Ответ: 0

4. Последовательность ($c_n$) задана формулой $n$-го члена $c_n = n^2 + 6$. Является ли членом этой последовательности число: 1) 55; 2) 72? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

1) Чтобы определить, является ли число 55 членом последовательности $(c_n)$, заданной формулой $c_n = n^2 + 6$, необходимо проверить, существует ли такое натуральное число $n$, при котором $c_n$ будет равно 55. Для этого решим уравнение:
$c_n = 55$
$n^2 + 6 = 55$
$n^2 = 55 - 6$
$n^2 = 49$
$n = \sqrt{49}$
Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, то $n = 7$.
Так как мы получили натуральное значение для $n$, число 55 является членом данной последовательности с номером 7.
Ответ: да, является; номер этого члена — 7.

2) Аналогично проверим, является ли число 72 членом этой последовательности. Составим и решим уравнение:
$c_n = 72$
$n^2 + 6 = 72$
$n^2 = 72 - 6$
$n^2 = 66$
$n = \sqrt{66}$
Корень из 66 не является целым числом (так как $8^2=64$ и $9^2=81$), следовательно, не существует натурального числа $n$, для которого $c_n = 72$.
Значит, число 72 не является членом данной последовательности.
Ответ: нет, не является.

5. Последовательность $(x_n)$ задана формулой $n$-го члена $x_n = -n^2 + 17n + 10$. Сколько членов этой последовательности больше 40?

Чтобы определить, сколько членов последовательности $(x_n)$ больше 40, нужно решить неравенство $x_n > 40$.

Подставим заданную формулу $n$-го члена $x_n = -n^2 + 17n + 10$ в неравенство:
$-n^2 + 17n + 10 > 40$

Перенесем 40 в левую часть неравенства, чтобы получить квадратное неравенство:
$-n^2 + 17n + 10 - 40 > 0$
$-n^2 + 17n - 30 > 0$

Для удобства решения умножим обе части неравенства на -1. При этом знак неравенства изменится на противоположный:
$n^2 - 17n + 30 < 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $n^2 - 17n + 30 = 0$, чтобы найти его корни. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней через дискриминант.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 289 - 120 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения:
$n_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$n_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Мы решаем неравенство $n^2 - 17n + 30 < 0$. Графиком функции $y = n^2 - 17n + 30$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше нуля (то есть парабола находится ниже оси абсцисс) на интервале между корнями.
Следовательно, решение неравенства есть интервал $(2; 15)$.

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Нам нужно найти все натуральные числа, которые удовлетворяют неравенству $2 < n < 15$.
Такими числами являются: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

Чтобы найти их количество, можно из последнего числа вычесть первое и прибавить 1:
$14 - 3 + 1 = 12$.
Таким образом, 12 членов последовательности больше 40.

Ответ: 12