Страница 73 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите медиану выборки $3, 6, 8, 9, 10, 10, 11$.

1) 8 2) 9 3) 10 4) 11

Медианой упорядоченной выборки называется число, которое находится в середине этой выборки. Чтобы найти медиану, необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Упорядочить выборку
Необходимо расположить все числа выборки в порядке возрастания (или убывания).
Исходная выборка: 3, 6, 8, 9, 10, 10, 11.
Данная выборка уже упорядочена по возрастанию.

Шаг 2: Найти количество элементов
Подсчитаем общее количество чисел в выборке. Обозначим его как $n$.
В данной выборке 7 чисел: 3, 6, 8, 9, 10, 10, 11. Таким образом, $n = 7$.

Шаг 3: Определить медиану
Поскольку количество элементов в выборке ($n=7$) нечетное, медианой является элемент, стоящий ровно посередине. Порядковый номер этого элемента можно найти по формуле: $ \text{Номер медианы} = \frac{n+1}{2} $ Подставим наше значение $n$: $ \text{Номер медианы} = \frac{7+1}{2} = \frac{8}{2} = 4 $ Это означает, что медиана — это четвертый по счету элемент в упорядоченном ряду.

Шаг 4: Найти значение медианы
Найдем четвертый элемент в нашей упорядоченной выборке:
1-й: 3
2-й: 6
3-й: 8
4-й: 9
5-й: 10
6-й: 10
7-й: 11
Таким образом, медиана данной выборки равна 9.

Ответ: 9

2. Укажите моду выборки 3, 6, 8, 9, 10, 10, 11.

1) 8

2) 9

3) 10

4) 11

Мода статистической выборки — это значение, которое встречается в данной выборке наиболее часто.

Проанализируем представленную выборку: $3, 6, 8, 9, 10, 10, 11$.

Для того чтобы найти моду, необходимо подсчитать частоту появления каждого элемента в ряду:

Число $3$ встречается $1$ раз.
Число $6$ встречается $1$ раз.
Число $8$ встречается $1$ раз.
Число $9$ встречается $1$ раз.
Число $10$ встречается $2$ раза.
Число $11$ встречается $1$ раз.

Наибольшая частота появления у числа $10$ (встречается $2$ раза). Следовательно, модой данной выборки является число $10$.

Ответ: $10$.

3. В таблице приведены данные о количестве билетов, проданных на спектакли театра в течение недели (в понедельник театр не работает).

Пользуясь данной таблицей, найдите:

1) размах данной выборки;

2) среднее значение выборки;

3) медиану выборки.

1) размах данной выборки
Размах выборки — это разность между максимальным и минимальным значениями в наборе данных. Для нахождения размаха необходимо определить наибольшее и наименьшее количество проданных билетов за неделю.
Максимальное значение: $900$ билетов.
Минимальное значение: $560$ билетов.
Размах вычисляется по формуле: $R = X_{max} - X_{min}$.
$R = 900 - 560 = 340$.
Ответ: 340

2) среднее значение выборки
Среднее значение (или среднее арифметическое) — это сумма всех значений выборки, деленная на их количество. В данном случае, нам нужно сложить количество билетов, проданных за все 6 дней, и разделить на 6.
Сумма проданных билетов: $820 + 740 + 560 + 900 + 900 + 880 = 4800$.
Количество дней (объем выборки): $6$.
Среднее значение вычисляется по формуле: $\bar{X} = \frac{\sum{X_i}}{n}$.
$\bar{X} = \frac{4800}{6} = 800$.
Ответ: 800

3) медиану выборки
Медиана — это значение, которое делит упорядоченный набор данных пополам. Для нахождения медианы необходимо сначала упорядочить все значения по возрастанию.
Исходный ряд данных: $820, 740, 560, 900, 900, 880$.
Упорядоченный ряд: $560, 740, 820, 880, 900, 900$.
Так как количество элементов в выборке четное ($n=6$), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов. В нашем случае это третий и четвертый элементы ряда.
Третий элемент: $820$.
Четвертый элемент: $880$.
Медиана вычисляется по формуле: $Me = \frac{X_3 + X_4}{2}$.
$Me = \frac{820 + 880}{2} = \frac{1700}{2} = 850$.
Ответ: 850

4. На диаграмме, изображённой на рисунке 23, приведены данные о стаже работы сотрудников некоторого предприятия. Найдите:

1) моду выборки;

2) среднее значение выборки.

Рис. 23

1) моду выборки
Мода выборки — это значение признака, которое встречается в выборке наиболее часто. Чтобы найти моду, необходимо определить по диаграмме, какой стаж работы имеет наибольшее число сотрудников.
Проанализируем данные с диаграммы:

• стаж 5 лет — 3 сотрудника;
• стаж 10 лет — 6 сотрудников;
• стаж 12 лет — 1 сотрудник;
• стаж 14 лет — 5 сотрудников;
• стаж 15 лет — 3 сотрудника;
• стаж 19 лет — 2 сотрудника.

Наибольшая частота (количество сотрудников) равна 6, и она соответствует стажу работы 10 лет. Следовательно, мода данной выборки равна 10.
Ответ: 10.

2) среднее значение выборки
Среднее значение выборки вычисляется как отношение суммы всех значений выборки к их количеству. В данном случае это будет средневзвешенное значение стажа.
Сначала найдем общее количество сотрудников в выборке, сложив количество сотрудников для каждого стажа:
$N = 3 + 6 + 1 + 5 + 3 + 2 = 20$ сотрудников.
Далее найдем суммарный стаж всех сотрудников. Для этого умножим каждое значение стажа на соответствующее ему количество сотрудников и сложим результаты:
$S = (5 \cdot 3) + (10 \cdot 6) + (12 \cdot 1) + (14 \cdot 5) + (15 \cdot 3) + (19 \cdot 2)$
$S = 15 + 60 + 12 + 70 + 45 + 38 = 240$ лет.
Теперь найдем среднее значение стажа, разделив суммарный стаж на общее количество сотрудников:
Среднее значение $= \frac{S}{N} = \frac{240}{20} = 12$ лет.
Ответ: 12.