Страница 68 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Имеется 4 различные пачки вафель и 5 различных пачек печенья. Сколькими способами можно выбрать набор, состоящий из пачки вафель и пачки печенья?

1) 9 способами

2) 18 способами

3) 20 способами

4) 40 способами

Для решения этой задачи используется комбинаторное правило умножения. Согласно этому правилу, если объект A можно выбрать $m$ способами, и после каждого такого выбора объект B можно выбрать $n$ способами, то выбор пары (A, B) в указанном порядке можно осуществить $m \times n$ способами.

В данном случае у нас есть два независимых выбора:

1. Выбор пачки вафель. По условию, есть 4 различные пачки вафель, значит, существует 4 способа выбрать одну из них.

2. Выбор пачки печенья. По условию, есть 5 различных пачек печенья, значит, существует 5 способов выбрать одну из них.

Чтобы найти общее количество способов составить набор из одной пачки вафель и одной пачки печенья, нужно перемножить количество вариантов для каждого выбора.

Количество способов = (Количество видов вафель) $\times$ (Количество видов печенья)

Вычисляем: $4 \times 5 = 20$.

Следовательно, существует 20 различных способов выбрать набор из одной пачки вафель и одной пачки печенья.

Ответ: 20 способами

2. Имеется 4 различные пачки вафель и 5 различных пачек печенья. Сколькими способами можно выбрать пачку одного из этих изделий?

1) 9 способами

2) 18 способами

3) 20 способами

4) 40 способами

Для решения этой задачи используется одно из основных правил комбинаторики — правило суммы. Оно применяется, когда необходимо выбрать один объект из нескольких взаимоисключающих групп.

По условию, нам нужно выбрать одну пачку, и это может быть либо пачка вафель, либо пачка печенья. Выбор пачки вафель и выбор пачки печенья — это два взаимоисключающих события, так как мы выбираем только одну пачку.

Количество способов выбрать одну пачку вафель равно количеству видов вафель, то есть $4$.

Количество способов выбрать одну пачку печенья равно количеству видов печенья, то есть $5$.

Согласно правилу суммы, общее количество способов выбрать одну пачку вафель или одну пачку печенья равно сумме количества способов для каждого выбора:

$4 + 5 = 9$

Таким образом, существует 9 способов выбрать пачку одного из этих изделий.

Ответ: 9 способами.

3. Сейфовый замок имеет 10 кнопок, на каждой из которых написана одна буква, причём все буквы различны. Для открытия сейфа необходимо нажать 5 разных кнопок в определённой последовательности. Сколько существует кодов (наборов из разных кнопок), состоящих из 5 букв, для этого замка?

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы комбинаторики. У нас есть 10 различных кнопок (букв), и нам нужно составить из них код, который представляет собой последовательность из 5 различных кнопок.

Поскольку порядок нажатия кнопок важен (код — это определенная последовательность), а кнопки в коде не могут повторяться (5 разных кнопок), мы имеем дело с размещениями без повторений.

Число размещений из $n$ элементов по $k$ элементов обозначается как $A_n^k$ и вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае:

• $n = 10$ (общее количество кнопок на замке)
• $k = 5$ (количество кнопок, которые нужно нажать для открытия)

Подставим эти значения в формулу:

$A_{10}^5 = \frac{10!}{(10-5)!} = \frac{10!}{5!}$

Распишем факториалы для вычисления:

$A_{10}^5 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6$

Теперь вычислим произведение:

$10 \times 9 = 90$

$90 \times 8 = 720$

$720 \times 7 = 5040$

$5040 \times 6 = 30240$

Таким образом, существует 30 240 возможных кодов для данного сейфового замка.

Ответ: 30240

4. Сколько четырёхзначных чисел, кратных числу 10, все цифры которых различны, можно записать, используя цифры 0, 1, 2, 3, 4, 6?

Для того чтобы составить четырёхзначное число из заданных цифр {0, 1, 2, 3, 4, 6}, необходимо выполнить следующие условия:
1. Число должно быть четырёхзначным.
2. Число должно быть кратно 10.
3. Все цифры в числе должны быть различны.

Рассмотрим выбор цифры для каждого из четырёх разрядов числа.

Разряд единиц (последняя цифра):
Условие кратности 10 означает, что число должно оканчиваться на 0. В предоставленном наборе цифр есть 0.
Таким образом, для последней цифры есть только 1 вариант — это 0.

Разряд тысяч (первая цифра):
Первая цифра четырёхзначного числа не может быть 0. Так как цифра 0 уже используется в разряде единиц, а все цифры должны быть различны, это условие выполняется автоматически.
Из набора {0, 1, 2, 3, 4, 6} мы исключаем уже использованную цифру 0. Остаются цифры {1, 2, 3, 4, 6}.
Следовательно, для первой цифры есть 5 вариантов выбора.

Разряд сотен (вторая цифра):
Мы уже выбрали две цифры (одну для тысяч и 0 для единиц). Согласно условию, все цифры должны быть различны.
Из исходных 6 цифр остаются $6 - 2 = 4$ неиспользованные цифры.
Значит, для второй цифры существует 4 варианта выбора.

Разряд десятков (третья цифра):
К этому моменту мы уже выбрали три цифры.
Из исходных 6 цифр остаются $6 - 3 = 3$ неиспользованные цифры.
Таким образом, для третьей цифры есть 3 варианта выбора.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждого разряда, используя комбинаторное правило произведения:
$N = 5 \times 4 \times 3 \times 1 = 60$.

Альтернативно, после того как мы определили, что последняя цифра — 0 (1 способ), нам нужно расставить 3 цифры на оставшиеся 3 места, выбирая их из 5 оставшихся цифр {1, 2, 3, 4, 6} без повторений. Это является задачей на размещения, и количество таких размещений равно $A_5^3$:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Ответ: 60

5. В магазине имеются диски с записями выдающихся российских певцов: 6 различных дисков с записями Сергея Лемешева, 5 различных дисков с записями Елены Образцовой и 7 различных дисков с записями Евгения Нестеренко. Сколькими способами можно приобрести набор из двух дисков, содержащий диски с записями двоих из этих исполнителей?

По условию, необходимо составить набор из двух дисков с записями двух разных исполнителей. У нас есть диски трех исполнителей:
- Сергей Лемешев: 6 различных дисков;
- Елена Образцова: 5 различных дисков;
- Евгений Нестеренко: 7 различных дисков.

Чтобы составить такой набор, нужно выбрать по одному диску у двух разных певцов. Рассмотрим все возможные пары исполнителей:

1. Один диск Сергея Лемешева и один диск Елены Образцовой.
Количество способов выбрать один из 6 дисков Лемешева — 6.
Количество способов выбрать один из 5 дисков Образцовой — 5.
По правилу произведения в комбинаторике, общее число способов для этой пары равно: $6 \times 5 = 30$ способов.

2. Один диск Сергея Лемешева и один диск Евгения Нестеренко.
Количество способов выбрать один из 6 дисков Лемешева — 6.
Количество способов выбрать один из 7 дисков Нестеренко — 7.
Общее число способов для этой пары: $6 \times 7 = 42$ способа.

3. Один диск Елены Образцовой и один диск Евгения Нестеренко.
Количество способов выбрать один из 5 дисков Образцовой — 5.
Количество способов выбрать один из 7 дисков Нестеренко — 7.
Общее число способов для этой пары: $5 \times 7 = 35$ способов.

Так как эти три варианта наборов являются взаимоисключающими, общее количество способов приобрести набор из двух дисков разных исполнителей находится по правилу сложения. Для этого нужно сложить количество способов для каждого из трех рассмотренных случаев:

$30 + 42 + 35 = 107$

Ответ: 107