Страница 62 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Вкладчик положил в банк 35 000 р. под 7 % годовых. Сколько денег будет на его счёте через 4 года, если никаких операций со счётом, кроме ежегодного начисления процентов, проводиться не будет?

1) $35 000 \cdot 0,07^4$

2) $35 000 \cdot 1,07^3$

3) $35 000 \cdot 1,7^4$

4) $35 000 \cdot 1,07^4$

Данная задача решается с использованием формулы сложных процентов. Сложные проценты означают, что каждый год процент начисляется на текущую сумму на счёте, которая включает как первоначальный вклад, так и все ранее начисленные проценты.

Формула для расчёта итоговой суммы ($S$) через $n$ лет при годовой процентной ставке $p$ и первоначальном вкладе $S_0$ выглядит следующим образом:

$S = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n$

В условиях задачи дано:

• Первоначальная сумма вклада ($S_0$) = 35 000 р.
• Годовая процентная ставка ($p$) = 7 %.
• Срок вклада ($n$) = 4 года.

Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 7%, то есть умножаться на коэффициент $1 + \frac{7}{100} = 1 + 0.07 = 1.07$.

Поскольку вклад лежит 4 года, эту операцию нужно повторить 4 раза. Это эквивалентно возведению коэффициента в 4-ю степень.

Подставим наши значения в формулу:

$S = 35 000 \cdot (1 + \frac{7}{100})^4 = 35 000 \cdot (1.07)^4$

Теперь сравним полученное выражение с предложенными вариантами:

1. $35 000 \cdot 0,07^4$ – неверно. Этот вариант не учитывает первоначальную сумму в базе для начисления процентов.
2. $35 000 \cdot 1,07^3$ – неверно. Степень должна соответствовать количеству лет, то есть 4, а не 3.
3. $35 000 \cdot 1,7^4$ – неверно. Коэффициент 1,7 соответствует ставке 70% годовых, а не 7%.
4. $35 000 \cdot 1,07^4$ – верно. Это выражение полностью соответствует формуле сложных процентов для данных условий.

Таким образом, через 4 года на счёте будет сумма, вычисляемая по формуле $35 000 \cdot 1,07^4$.

Ответ: 4) $35 000 \cdot 1,07^4$

2. Товар на распродаже уценили на $50\%$, в результате он стал стоить 480 р. Сколько рублей стоил товар до распродажи?

1) 240 р.

2) 720 р.

3) 960 р.

4) 1440 р.

Пусть $x$ — это первоначальная стоимость товара в рублях. Поскольку товар уценили на 50%, его новая стоимость составляет $100\% - 50\% = 50\%$ от первоначальной цены.

Из условия известно, что новая цена равна 480 рублям. Следовательно, 50% от первоначальной цены $x$ составляют 480 рублей.

Для нахождения первоначальной цены составим уравнение. Выразим 50% в виде десятичной дроби: $50\% = \frac{50}{100} = 0,5$. Получаем уравнение:

$x \cdot 0,5 = 480$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0,5:

$x = \frac{480}{0,5}$

$x = 960$

Таким образом, первоначальная стоимость товара до распродажи составляла 960 рублей.

Ответ: 960 р.

3. В сентябре 1 кг огурцов стоил 60 р. В октябре огурцы подорожали на 20 %, а в ноябре — ещё на 25 %. Сколько рублей стоил 1 кг огурцов после подорожания в ноябре?

Для решения задачи необходимо последовательно рассчитать стоимость огурцов после каждого повышения цены.

1. Рассчитаем цену после подорожания в октябре. Начальная цена составляла 60 рублей. Повышение на 20% означает, что новая цена будет составлять $100\% + 20\% = 120\%$ от первоначальной. Вычислим цену в октябре:

$60 \text{ р.} \times (1 + \frac{20}{100}) = 60 \times 1.2 = 72$ рубля.

2. Теперь рассчитаем цену после подорожания в ноябре. Цена повысилась еще на 25%, но уже от новой, октябрьской цены в 72 рубля. Новая цена будет составлять $100\% + 25\% = 125\%$ от цены октября:

$72 \text{ р.} \times (1 + \frac{25}{100}) = 72 \times 1.25 = 90$ рублей.

Таким образом, после подорожания в ноябре 1 кг огурцов стал стоить 90 рублей.

Ответ: 90 рублей.

4. После двух последовательных повышений цены на 30 % некоторый товар стал стоить 507 р. Найдите первоначальную цену товара.

Пусть $x$ — первоначальная цена товара в рублях.

При первом повышении цена увеличилась на 30%, то есть стала составлять $100\% + 30\% = 130\%$ от первоначальной. Новая цена ($P_1$) может быть вычислена как:
$P_1 = x \cdot (1 + \frac{30}{100}) = x \cdot 1,3 = 1,3x$

Второе повышение цены на 30% происходило от уже увеличенной цены $P_1$. Таким образом, конечная цена ($P_2$) составила 130% от цены $P_1$:
$P_2 = P_1 \cdot 1,3 = (1,3x) \cdot 1,3 = 1,3^2 \cdot x = 1,69x$

По условию задачи, конечная цена товара стала 507 рублей. Составим и решим уравнение:
$1,69x = 507$
$x = \frac{507}{1,69}$
Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 100:
$x = \frac{50700}{169}$
$x = 300$

Следовательно, первоначальная цена товара была 300 рублей.

Ответ: 300 р.

5. Имеется 400 г 30%-ного раствора соли. Сколько граммов воды необходимо долить в этот раствор, чтобы получить 10%-ный раствор соли?

Для решения задачи сначала необходимо найти массу соли в исходном растворе. При общей массе раствора 400 г и концентрации соли 30%, масса соли составит:

$$m_{соли} = 400 \text{ г} \times \frac{30}{100} = 120 \text{ г}$$

При добавлении воды в раствор масса соли не меняется. В новом растворе эти 120 г соли должны составлять 10% от новой общей массы раствора. Обозначим новую массу раствора как $M_{новый}$.

Составим пропорцию:

$120 \text{ г соли} \longrightarrow 10\%$

$M_{новый} \longrightarrow 100\%$

Отсюда находим новую массу раствора:

$$M_{новый} = \frac{120 \text{ г} \times 100\%}{10\%} = 1200 \text{ г}$$

Чтобы найти, сколько граммов воды необходимо долить, нужно вычесть из новой массы раствора его первоначальную массу:

$$m_{воды} = M_{новый} - m_{исходный} = 1200 \text{ г} - 400 \text{ г} = 800 \text{ г}$$

Ответ: необходимо долить 800 г воды.