Страница 67 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Имеется 8 различных пирожных и 6 различных пирожков. Сколькими способами можно выбрать одно из этих кулинарных изделий?

1) 14 способами

3) 48 способами

2) 28 способами

4) 96 способами

Для решения данной задачи применяется основное правило комбинаторики — правило суммы. Нам необходимо выбрать один предмет из двух непересекающихся множеств: множества пирожных и множества пирожков.

Пусть есть $m$ способов выбрать объект A, и $n$ способов выбрать объект B. Тогда выбрать «либо A, либо B» можно $m + n$ способами.

В нашем случае:

Количество способов выбрать одно пирожное из 8 различных пирожных равно $8$.

Количество способов выбрать один пирожок из 6 различных пирожков равно $6$.

Так как нам нужно выбрать одно изделие — либо пирожное, либо пирожок — мы должны сложить количество доступных вариантов для каждого типа изделий.

Общее количество способов $N$ равно: $N = 8 + 6 = 14$

Следовательно, существует 14 различных способов выбрать одно из предложенных кулинарных изделий.

Ответ: 14 способами.

2. Имеется 8 различных пирожных и 6 различных пирожков. Сколькими способами можно выбрать набор, состоящий из пирожного и пирожка?

1) 14 способами

2) 28 способами

3) 48 способами

4) 96 способами

Для решения этой задачи применяется комбинаторное правило умножения. Согласно этому правилу, если один объект можно выбрать $m$ способами, а другой объект можно выбрать $n$ способами, то пару из этих объектов можно выбрать $m \times n$ способами.

В нашем случае есть два независимых выбора: выбор пирожного и выбор пирожка.

1. Количество способов выбрать одно пирожное. По условию, имеется 8 различных пирожных. Значит, существует 8 способов для выбора пирожного.

2. Количество способов выбрать один пирожок. По условию, имеется 6 различных пирожков. Значит, существует 6 способов для выбора пирожка.

Чтобы найти общее количество способов составить набор, состоящий из одного пирожного и одного пирожка, необходимо перемножить количество способов выбора каждого из них:

$N = 8 \times 6 = 48$

Таким образом, существует 48 способов выбрать набор из одного пирожного и одного пирожка.

Ответ: 48 способами

3. Кнопочный замок для входных дверей имеет 9 кнопок, пронумерованных цифрами от 1 до 9. Для открытия дверей необходимо нажать 4 различные кнопки в определенной последовательности. Сколько существует кодов (наборов из разных кнопок), состоящих из 4 цифр, для этого замка?

В данной задаче требуется найти общее количество возможных кодов для кнопочного замка. Мы имеем 9 различных кнопок (цифры от 1 до 9), и для открытия нужно нажать 4 из них в определенной последовательности, причем все нажимаемые кнопки должны быть разными.

Поскольку важен порядок нажатия кнопок и кнопки не могут повторяться, нам необходимо рассчитать число размещений без повторений из 9 элементов по 4.

Формула для числа размещений из $n$ элементов по $k$ выглядит так:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае:
$n = 9$ (общее количество кнопок)
$k = 4$ (количество кнопок в коде)

Подставим эти значения в формулу:
$A_9^4 = \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6$

Этот же результат можно получить, используя правило произведения:
- Для выбора первой цифры кода есть 9 вариантов.
- Для второй цифры, так как кнопки должны быть разными, остается 8 вариантов.
- Для третьей цифры остается 7 вариантов.
- Для четвертой — 6 вариантов.

Перемножим количество вариантов для каждой позиции, чтобы найти общее число комбинаций:
$9 \times 8 \times 7 \times 6 = 72 \times 42 = 3024$

Таким образом, существует 3024 различных кода для этого замка.

Ответ: 3024

4. Сколько четырёхзначных чисел, кратных числу 5, все цифры которых различны, можно записать, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Для того чтобы составить четырехзначное число, кратное 5, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, при условии, что все цифры в числе различны, нужно учесть несколько правил.

1. Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Из предложенного набора цифр {1, 2, 3, 4, 5, 6} подходит только цифра 5. Следовательно, последняя цифра нашего четырехзначного числа должна быть 5. Это единственный возможный вариант для последней позиции.

_ _ _ 5

2. Оставшиеся цифры. Поскольку все цифры в числе должны быть различны, а цифра 5 уже использована, для оставшихся трех позиций мы можем использовать цифры из набора {1, 2, 3, 4, 6}. Всего осталось 5 цифр.

3. Подсчет комбинаций для остальных позиций.

• На первую позицию (тысячи) мы можем поставить любую из 5 оставшихся цифр. У нас есть 5 вариантов.
• На вторую позицию (сотни) мы можем поставить любую из оставшихся $5-1=4$ цифр (так как одна цифра уже занята на первой позиции). У нас есть 4 варианта.
• На третью позицию (десятки) мы можем поставить любую из оставшихся $4-1=3$ цифр. У нас есть 3 варианта.

4. Общее количество чисел. Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:

Количество вариантов = (варианты для 1-й цифры) × (варианты для 2-й цифры) × (варианты для 3-й цифры) × (варианты для 4-й цифры)

Количество чисел = $5 \times 4 \times 3 \times 1 = 60$.

Задачу также можно решить с помощью формулы размещений без повторений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. После того как мы зафиксировали последнюю цифру (5), нам нужно расставить 3 цифры на 3 оставшихся места, выбирая их из 5 доступных цифр {1, 2, 3, 4, 6}.

Число размещений из 5 по 3 равно:

$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$.

Следовательно, можно составить 60 таких чисел.

Ответ: 60

5. В книжном магазине имеется 4 различных издания поэмы «Полтава» А. Пушкина, 7 различных изданий поэмы «Мцыри» М. Лермонтова и 2 различных издания поэмы «Русские женщины» Н. Некрасова. Сколькими способами можно приобрести набор из двух книг, содержащий книги двоих из этих писателей?

Чтобы найти общее количество способов приобрести набор из двух книг разных авторов, необходимо рассмотреть все возможные пары авторов. Затем для каждой пары нужно вычислить количество способов составить набор, а после сложить полученные результаты. Это задача на применение основных правил комбинаторики: правила произведения и правила суммы.

В наличии имеются:

• $4$ различных издания А. Пушкина
• $7$ различных изданий М. Лермонтова
• $2$ различных издания Н. Некрасова

Рассмотрим все возможные пары авторов:

1. Набор из книг Пушкина и Лермонтова

Чтобы составить такой набор, нужно выбрать одну книгу Пушкина и одну книгу Лермонтова. Выбрать одну из $4$ книг Пушкина можно $4$ способами. Выбрать одну из $7$ книг Лермонтова можно $7$ способами. По правилу произведения, общее количество способов составить такой набор равно:

$4 \times 7 = 28$ способов.

Ответ: 28.

2. Набор из книг Пушкина и Некрасова

Аналогично, нужно выбрать одну из $4$ книг Пушкина и одну из $2$ книг Некрасова. Количество способов для этого:

$4 \times 2 = 8$ способов.

Ответ: 8.

3. Набор из книг Лермонтова и Некрасова

Нужно выбрать одну из $7$ книг Лермонтова и одну из $2$ книг Некрасова. Количество способов для этого:

$7 \times 2 = 14$ способов.

Ответ: 14.

Общее количество способов

Поскольку эти три варианта наборов (Пушкин и Лермонтов, Пушкин и Некрасов, Лермонтов и Некрасов) являются взаимоисключающими, общее количество способов приобрести набор из двух книг разных авторов находится по правилу суммы — сложением количества способов для каждого из вариантов.

Общее число способов = (число способов для пары 1) + (число способов для пары 2) + (число способов для пары 3)

$28 + 8 + 14 = 50$ способов.

Ответ: 50.