Номер 3, страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Кнопочный замок для входных дверей имеет 9 кнопок, пронумерованных цифрами от 1 до 9. Для открытия дверей необходимо нажать 4 различные кнопки в определенной последовательности. Сколько существует кодов (наборов из разных кнопок), состоящих из 4 цифр, для этого замка?

В данной задаче требуется найти общее количество возможных кодов для кнопочного замка. Мы имеем 9 различных кнопок (цифры от 1 до 9), и для открытия нужно нажать 4 из них в определенной последовательности, причем все нажимаемые кнопки должны быть разными.

Поскольку важен порядок нажатия кнопок и кнопки не могут повторяться, нам необходимо рассчитать число размещений без повторений из 9 элементов по 4.

Формула для числа размещений из $n$ элементов по $k$ выглядит так:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае:
$n = 9$ (общее количество кнопок)
$k = 4$ (количество кнопок в коде)

Подставим эти значения в формулу:
$A_9^4 = \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6$

Этот же результат можно получить, используя правило произведения:
- Для выбора первой цифры кода есть 9 вариантов.
- Для второй цифры, так как кнопки должны быть разными, остается 8 вариантов.
- Для третьей цифры остается 7 вариантов.
- Для четвертой — 6 вариантов.

Перемножим количество вариантов для каждой позиции, чтобы найти общее число комбинаций:
$9 \times 8 \times 7 \times 6 = 72 \times 42 = 3024$

Таким образом, существует 3024 различных кода для этого замка.

Ответ: 3024