Номер 4, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Сколько четырёхзначных чисел, кратных числу 10, все цифры которых различны, можно записать, используя цифры 0, 1, 2, 3, 4, 6?

Для того чтобы составить четырёхзначное число из заданных цифр {0, 1, 2, 3, 4, 6}, необходимо выполнить следующие условия:
1. Число должно быть четырёхзначным.
2. Число должно быть кратно 10.
3. Все цифры в числе должны быть различны.

Рассмотрим выбор цифры для каждого из четырёх разрядов числа.

Разряд единиц (последняя цифра):
Условие кратности 10 означает, что число должно оканчиваться на 0. В предоставленном наборе цифр есть 0.
Таким образом, для последней цифры есть только 1 вариант — это 0.

Разряд тысяч (первая цифра):
Первая цифра четырёхзначного числа не может быть 0. Так как цифра 0 уже используется в разряде единиц, а все цифры должны быть различны, это условие выполняется автоматически.
Из набора {0, 1, 2, 3, 4, 6} мы исключаем уже использованную цифру 0. Остаются цифры {1, 2, 3, 4, 6}.
Следовательно, для первой цифры есть 5 вариантов выбора.

Разряд сотен (вторая цифра):
Мы уже выбрали две цифры (одну для тысяч и 0 для единиц). Согласно условию, все цифры должны быть различны.
Из исходных 6 цифр остаются $6 - 2 = 4$ неиспользованные цифры.
Значит, для второй цифры существует 4 варианта выбора.

Разряд десятков (третья цифра):
К этому моменту мы уже выбрали три цифры.
Из исходных 6 цифр остаются $6 - 3 = 3$ неиспользованные цифры.
Таким образом, для третьей цифры есть 3 варианта выбора.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждого разряда, используя комбинаторное правило произведения:
$N = 5 \times 4 \times 3 \times 1 = 60$.

Альтернативно, после того как мы определили, что последняя цифра — 0 (1 способ), нам нужно расставить 3 цифры на оставшиеся 3 места, выбирая их из 5 оставшихся цифр {1, 2, 3, 4, 6} без повторений. Это является задачей на размещения, и количество таких размещений равно $A_5^3$:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Ответ: 60