Номер 4, страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Сколько четырёхзначных чисел, кратных числу 5, все цифры которых различны, можно записать, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Для того чтобы составить четырехзначное число, кратное 5, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, при условии, что все цифры в числе различны, нужно учесть несколько правил.

1. Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Из предложенного набора цифр {1, 2, 3, 4, 5, 6} подходит только цифра 5. Следовательно, последняя цифра нашего четырехзначного числа должна быть 5. Это единственный возможный вариант для последней позиции.

_ _ _ 5

2. Оставшиеся цифры. Поскольку все цифры в числе должны быть различны, а цифра 5 уже использована, для оставшихся трех позиций мы можем использовать цифры из набора {1, 2, 3, 4, 6}. Всего осталось 5 цифр.

3. Подсчет комбинаций для остальных позиций.

• На первую позицию (тысячи) мы можем поставить любую из 5 оставшихся цифр. У нас есть 5 вариантов.
• На вторую позицию (сотни) мы можем поставить любую из оставшихся $5-1=4$ цифр (так как одна цифра уже занята на первой позиции). У нас есть 4 варианта.
• На третью позицию (десятки) мы можем поставить любую из оставшихся $4-1=3$ цифр. У нас есть 3 варианта.

4. Общее количество чисел. Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:

Количество вариантов = (варианты для 1-й цифры) × (варианты для 2-й цифры) × (варианты для 3-й цифры) × (варианты для 4-й цифры)

Количество чисел = $5 \times 4 \times 3 \times 1 = 60$.

Задачу также можно решить с помощью формулы размещений без повторений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. После того как мы зафиксировали последнюю цифру (5), нам нужно расставить 3 цифры на 3 оставшихся места, выбирая их из 5 доступных цифр {1, 2, 3, 4, 6}.

Число размещений из 5 по 3 равно:

$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$.

Следовательно, можно составить 60 таких чисел.

Ответ: 60