Номер 3, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. На первом курсе студенты изучают 10 различных предметов. Сколькими способами можно составить расписание на день, состоящее из трёх различных предметов?

Для решения этой задачи необходимо определить, важен ли порядок предметов в расписании. Поскольку расписание на день (первый урок, второй, третий) подразумевает, что порядок важен (например, расписание «Математика, Физика, История» отличается от расписания «История, Математика, Физика»), то для решения нужно использовать формулу из комбинаторики для подсчета числа размещений.

Размещением из $n$ элементов по $k$ называется любое упорядоченное подмножество из $k$ элементов, выбранных из множества, содержащего $n$ различных элементов. Число размещений обозначается $A_n^k$.

В нашем случае общее число предметов $n = 10$, а число предметов в расписании на день $k = 3$.

Формула для вычисления числа размещений:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Подставим наши значения в формулу:

$A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$

Также можно рассуждать, используя правило произведения:

1. На место первого предмета в расписании можно выбрать любой из 10 предметов.
2. После того как первый предмет выбран, на место второго остается $10 - 1 = 9$ предметов, так как предметы должны быть различными.
3. На место третьего предмета остается $9 - 1 = 8$ предметов.
Общее число способов составить расписание равно произведению числа вариантов для каждого места: $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$.

Ответ: 720