Номер 4, страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Сколько трёхзначных нечётных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4?

Задача состоит в том, чтобы найти количество трёхзначных нечётных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, при условии, что все цифры в числе различны.

Трёхзначное число можно представить в виде $ABC$, где $A$ — цифра сотен, $B$ — цифра десятков, $C$ — цифра единиц.

Для составления таких чисел необходимо учесть три условия:
1. Число является трёхзначным, поэтому первая цифра $A$ не может быть 0. Следовательно, $A \in \{1, 2, 3, 4\}$.
2. Число является нечётным, поэтому последняя цифра $C$ должна быть нечётной. Из набора $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ нечётными являются 1 и 3. Следовательно, $C \in \{1, 3\}$.
3. Все цифры в числе различны: $A \neq B$, $A \neq C$, $B \neq C$.

Для подсчёта количества возможных чисел удобно рассмотреть два случая, в зависимости от последней цифры.

Если последняя цифра $C = 1$, то для выбора остальных цифр получаем следующее.
На место первой цифры $A$ (сотни) можно выбрать любую из цифр $\{2, 3, 4\}$, так как $A$ не может быть 0 и не может быть 1 (поскольку цифры не повторяются). Это даёт 3 варианта выбора.
После выбора цифр $A$ и $C$ (например, $A=2, C=1$), для выбора второй цифры $B$ (десятки) остаются все цифры из исходного набора $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ за исключением уже использованных $A$ и $C$. Всего в наборе 5 цифр, две уже заняты, значит, для $B$ остаётся $5 - 2 = 3$ варианта.
Таким образом, общее количество чисел для этого случая вычисляется по правилу произведения: $3 \text{ (для } A) \times 3 \text{ (для } B) \times 1 \text{ (для } C) = 9$ чисел.

Если последняя цифра $C = 3$, рассуждаем аналогично.
На место первой цифры $A$ (сотни) можно выбрать любую из цифр $\{1, 2, 4\}$, так как $A \neq 0$ и $A \neq 3$. Это даёт 3 варианта выбора.
Для второй цифры $B$ (десятки) также остаётся $5 - 2 = 3$ варианта, так как две цифры ($A$ и $C$) уже выбраны.
Общее количество чисел для этого случая: $3 \text{ (для } A) \times 3 \text{ (для } B) \times 1 \text{ (для } C) = 9$ чисел.

Общее количество искомых трёхзначных нечётных чисел равно сумме количеств чисел, найденных в обоих случаях: $9 + 9 = 18$.

Ответ: 18