Номер 4, страница 64, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. В сентябре магазин канцтоваров продал 2000 тетрадей. В октябре и ноябре объёмы продаж тетрадей уменьшились на одно и то же количество процентов. На сколько процентов происходило каждый месяц уменьшение продаж, если в ноябре было продано 1445 тетрадей?

Пусть $x$ — это искомое количество процентов, на которое ежемесячно уменьшались продажи. Тогда каждый месяц количество проданных тетрадей умножалось на коэффициент $k = (1 - \frac{x}{100})$.

Изначально, в сентябре, было продано 2000 тетрадей.

После уменьшения продаж в октябре на $x$ процентов, количество проданных тетрадей стало:
$S_{окт} = 2000 \cdot (1 - \frac{x}{100})$.

Затем, в ноябре, продажи снова уменьшились на $x$ процентов, но уже от октябрьского значения:
$S_{ноя} = S_{окт} \cdot (1 - \frac{x}{100}) = 2000 \cdot (1 - \frac{x}{100}) \cdot (1 - \frac{x}{100}) = 2000 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)^2$.

По условию задачи, в ноябре было продано 1445 тетрадей ($S_{ноя} = 1445$). Составим и решим уравнение:
$2000 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)^2 = 1445$.

Выразим квадрат скобки, разделив обе части уравнения на 2000:
$\left(1 - \frac{x}{100}\right)^2 = \frac{1445}{2000}$.

Сократим дробь в правой части. Числитель и знаменатель делятся на 5:
$\frac{1445}{2000} = \frac{1445 \div 5}{2000 \div 5} = \frac{289}{400}$.

Уравнение примет вид:
$\left(1 - \frac{x}{100}\right)^2 = \frac{289}{400}$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Заметим, что $289 = 17^2$ и $400 = 20^2$.
$1 - \frac{x}{100} = \pm\sqrt{\frac{289}{400}} = \pm\frac{17}{20}$.

Рассмотрим два возможных случая:
1) $1 - \frac{x}{100} = \frac{17}{20}$
$\frac{x}{100} = 1 - \frac{17}{20} = \frac{3}{20}$
$x = \frac{3}{20} \cdot 100 = 3 \cdot 5 = 15$.
Этот корень имеет смысл.

2) $1 - \frac{x}{100} = -\frac{17}{20}$
$\frac{x}{100} = 1 - (-\frac{17}{20}) = 1 + \frac{17}{20} = \frac{37}{20}$
$x = \frac{37}{20} \cdot 100 = 37 \cdot 5 = 185$.
Этот корень не подходит по смыслу задачи, так как уменьшение продаж не может превышать 100%.

Таким образом, ежемесячное уменьшение продаж составляло 15%. Проверим это:
Продажи в октябре: $2000 - 15\% \cdot 2000 = 2000 - 0.15 \cdot 2000 = 2000 - 300 = 1700$ тетрадей.
Продажи в ноябре: $1700 - 15\% \cdot 1700 = 1700 - 0.15 \cdot 1700 = 1700 - 255 = 1445$ тетрадей.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: каждый месяц уменьшение продаж происходило на 15%.