Страница 64 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Вкладчик положил в банк 50 000 р. под 9 % годовых. Сколько денег будет на его счёте через 4 года, если никаких операций со счётом, кроме ежегодного начисления процентов, проводиться не будет?

1) $50\,000 \cdot 0.09^4$

2) $50\,000 \cdot 1.09^3$

3) $50\,000 \cdot 1.9^4$

4) $50\,000 \cdot 1.09^4$

Данная задача решается с использованием формулы сложных процентов, поскольку проценты начисляются ежегодно, и в последующие годы они начисляются на уже увеличенную сумму вклада.

Начальная сумма вклада составляет 50 000 рублей. Годовая процентная ставка — 9%. Это означает, что каждый год сумма на счёте будет увеличиваться в $1 + \frac{9}{100} = 1.09$ раз.

Рассмотрим, как будет меняться сумма на счёте по годам:

Сумма в начале: $S_0 = 50 000$ р.

Через 1 год сумма на счёте станет:
$S_1 = S_0 \cdot (1 + 0.09) = 50 000 \cdot 1.09$

Через 2 года проценты будут начислены на новую сумму $S_1$:
$S_2 = S_1 \cdot (1 + 0.09) = (50 000 \cdot 1.09) \cdot 1.09 = 50 000 \cdot 1.09^2$

Через 3 года сумма на счёте будет:
$S_3 = S_2 \cdot (1 + 0.09) = (50 000 \cdot 1.09^2) \cdot 1.09 = 50 000 \cdot 1.09^3$

Через 4 года итоговая сумма составит:
$S_4 = S_3 \cdot (1 + 0.09) = (50 000 \cdot 1.09^3) \cdot 1.09 = 50 000 \cdot 1.09^4$

Общая формула для расчёта итоговой суммы $A$ при ежегодном начислении сложных процентов выглядит так: $A = P \cdot (1 + r)^t$, где $P$ — первоначальная сумма, $r$ — годовая процентная ставка в виде десятичной дроби, $t$ — количество лет.

Подставляя наши данные в эту формулу, получаем: $A = 50 000 \cdot (1 + 0.09)^4 = 50 000 \cdot 1.09^4$

Это выражение соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4) $50 000 \cdot 1.09^4$

2. Товар на распродаже уценили на $20 \%$, в результате он стал стоить 1200 р. Сколько рублей стоил товар до распродажи?

1) 6000 р.

2) 1500 р.

3) 960 р.

4) 2400 р.

Пусть $x$ — это первоначальная стоимость товара в рублях. Эту стоимость мы принимаем за 100%.

Товар уценили на 20%. Это значит, что его новая цена составляет процент от первоначальной:
$100\% - 20\% = 80\%$

Из условия задачи известно, что новая цена товара составляет 1200 рублей. Таким образом, 80% от первоначальной цены $x$ равны 1200.

Чтобы найти первоначальную цену, составим уравнение. Для этого переведем проценты в десятичную дробь: $80\% = 0,8$.
Уравнение выглядит следующим образом:
$0,8 \cdot x = 1200$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:
$x = \frac{1200}{0,8}$

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:
$x = \frac{12000}{8}$

Выполним деление:
$x = 1500$

Таким образом, первоначальная стоимость товара до распродажи составляла 1500 рублей. Это соответствует варианту ответа 2.

Проверка:
Найдем 20% от найденной первоначальной цены 1500 рублей: $1500 \cdot 0,20 = 300$ рублей (сумма скидки).
Вычтем скидку из первоначальной цены: $1500 - 300 = 1200$ рублей.
Полученная цена совпадает с ценой, указанной в условии задачи.

Ответ: 1500 р.

3. В августе 1 кг винограда стоил 250 р. В сентябре виноград подешевел на 8 %, а в октябре — подорожал на 10 %. Сколько рублей стоил 1 кг винограда в октябре?

Для решения этой задачи нужно последовательно рассчитать изменение цены винограда.

1. Найдем цену винограда в сентябре.
Первоначальная цена в августе составляла 250 рублей. В сентябре она снизилась на 8%. Сначала вычислим, на сколько рублей подешевел виноград:
$250 \cdot \frac{8}{100} = 250 \cdot 0.08 = 20$ рублей.
Теперь определим цену в сентябре, вычтя сумму удешевления из августовской цены:
$250 - 20 = 230$ рублей.
Итак, в сентябре 1 кг винограда стоил 230 рублей.

2. Найдем цену винограда в октябре.
В октябре цена выросла на 10% по сравнению с сентябрьской ценой (230 рублей). Рассчитаем, на сколько рублей подорожал виноград:
$230 \cdot \frac{10}{100} = 230 \cdot 0.1 = 23$ рубля.
Теперь определим цену в октябре, прибавив сумму подорожания к сентябрьской цене:
$230 + 23 = 253$ рубля.

Таким образом, в октябре 1 кг винограда стоил 253 рубля.

Ответ: 253.

4. В сентябре магазин канцтоваров продал 2000 тетрадей. В октябре и ноябре объёмы продаж тетрадей уменьшились на одно и то же количество процентов. На сколько процентов происходило каждый месяц уменьшение продаж, если в ноябре было продано 1445 тетрадей?

Пусть $x$ — это искомое количество процентов, на которое ежемесячно уменьшались продажи. Тогда каждый месяц количество проданных тетрадей умножалось на коэффициент $k = (1 - \frac{x}{100})$.

Изначально, в сентябре, было продано 2000 тетрадей.

После уменьшения продаж в октябре на $x$ процентов, количество проданных тетрадей стало:
$S_{окт} = 2000 \cdot (1 - \frac{x}{100})$.

Затем, в ноябре, продажи снова уменьшились на $x$ процентов, но уже от октябрьского значения:
$S_{ноя} = S_{окт} \cdot (1 - \frac{x}{100}) = 2000 \cdot (1 - \frac{x}{100}) \cdot (1 - \frac{x}{100}) = 2000 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)^2$.

По условию задачи, в ноябре было продано 1445 тетрадей ($S_{ноя} = 1445$). Составим и решим уравнение:
$2000 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)^2 = 1445$.

Выразим квадрат скобки, разделив обе части уравнения на 2000:
$\left(1 - \frac{x}{100}\right)^2 = \frac{1445}{2000}$.

Сократим дробь в правой части. Числитель и знаменатель делятся на 5:
$\frac{1445}{2000} = \frac{1445 \div 5}{2000 \div 5} = \frac{289}{400}$.

Уравнение примет вид:
$\left(1 - \frac{x}{100}\right)^2 = \frac{289}{400}$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Заметим, что $289 = 17^2$ и $400 = 20^2$.
$1 - \frac{x}{100} = \pm\sqrt{\frac{289}{400}} = \pm\frac{17}{20}$.

Рассмотрим два возможных случая:
1) $1 - \frac{x}{100} = \frac{17}{20}$
$\frac{x}{100} = 1 - \frac{17}{20} = \frac{3}{20}$
$x = \frac{3}{20} \cdot 100 = 3 \cdot 5 = 15$.
Этот корень имеет смысл.

2) $1 - \frac{x}{100} = -\frac{17}{20}$
$\frac{x}{100} = 1 - (-\frac{17}{20}) = 1 + \frac{17}{20} = \frac{37}{20}$
$x = \frac{37}{20} \cdot 100 = 37 \cdot 5 = 185$.
Этот корень не подходит по смыслу задачи, так как уменьшение продаж не может превышать 100%.

Таким образом, ежемесячное уменьшение продаж составляло 15%. Проверим это:
Продажи в октябре: $2000 - 15\% \cdot 2000 = 2000 - 0.15 \cdot 2000 = 2000 - 300 = 1700$ тетрадей.
Продажи в ноябре: $1700 - 15\% \cdot 1700 = 1700 - 0.15 \cdot 1700 = 1700 - 255 = 1445$ тетрадей.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: каждый месяц уменьшение продаж происходило на 15%.

5. Смешали 4%-ный раствор соли с 10%-ным раствором и получили 300 г 6%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора взяли для этого?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — масса 4%-ного раствора соли в граммах, а $y$ — масса 10%-ного раствора соли в граммах.

Поскольку общая масса полученного раствора составляет 300 г, мы можем составить первое уравнение, которое отражает сумму масс исходных растворов:
$x + y = 300$

Теперь рассмотрим массу соли в каждом растворе.
Масса соли в первом растворе (4%-ном) составляет $0.04x$ г.
Масса соли во втором растворе (10%-ном) составляет $0.10y$ г.
Масса соли в конечном растворе (6%-ном) массой 300 г составляет $300 \cdot 0.06 = 18$ г.

Общая масса соли в смеси равна сумме масс соли в исходных растворах. На основе этого составим второе уравнение:
$0.04x + 0.10y = 18$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x + y = 300 \\ 0.04x + 0.10y = 18 \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:
$y = 300 - x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:
$0.04x + 0.10(300 - x) = 18$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:
$0.04x + 30 - 0.10x = 18$
$-0.06x = 18 - 30$
$-0.06x = -12$
$x = \frac{-12}{-0.06} = \frac{1200}{6} = 200$
Таким образом, масса 4%-ного раствора составляет 200 г.

Теперь найдем массу 10%-ного раствора, подставив найденное значение $x$ в выражение для $y$:
$y = 300 - 200 = 100$
Масса 10%-ного раствора составляет 100 г.

Ответ: взяли 200 г 4%-ного раствора и 100 г 10%-ного раствора.