Страница 65 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. В столовой на обед предлагают 5 различных первых блюд и 6 различных вторых блюд. Сколько существует способов выбрать обед из двух блюд (по одному блюду каждого вида)?

1) 11 способов

2) 22 способа

3) 30 способов

4) 15 способов

1.

Для того чтобы найти общее количество способов выбрать обед, состоящий из одного первого и одного второго блюда, нужно использовать правило умножения в комбинаторике.

Согласно условию, у нас есть:

• 5 различных вариантов для выбора первого блюда.
• 6 различных вариантов для выбора второго блюда.

Выбор первого блюда и выбор второго блюда являются независимыми событиями. То есть, к любому из 5 выбранных первых блюд можно добавить любое из 6 вторых блюд.

Чтобы найти общее количество комбинаций, мы должны перемножить количество вариантов для каждого выбора.

Пусть $N_1$ — это количество вариантов первых блюд, а $N_2$ — количество вариантов вторых блюд. Тогда общее количество способов $N$ составить обед равно:

$N = N_1 \times N_2$

Подставим значения из условия задачи:

$N_1 = 5$

$N_2 = 6$

Тогда:

$N = 5 \times 6 = 30$

Следовательно, существует 30 различных способов выбрать обед из одного первого и одного второго блюда.

Ответ: 30 способов.

2. В столовой на обед предлагают 5 различных первых блюд и 6 различных вторых блюд. Сколько существует способов выбрать обед из одного блюда?

1) 11 способов

2) 22 способа

3) 30 способов

4) 15 способов

По условию задачи, обед должен состоять только из одного блюда. Это означает, что можно выбрать либо одно из предлагаемых первых блюд, либо одно из вторых блюд.

Количество различных первых блюд: 5.

Количество различных вторых блюд: 6.

Так как выбор первого блюда и выбор второго блюда являются взаимоисключающими событиями (мы выбираем только что-то одно), для нахождения общего количества способов выбора обеда из одного блюда следует применить правило сложения в комбинаторике.

Общее количество способов $N$ равно сумме количества способов выбрать первое блюдо $N_1$ и количества способов выбрать второе блюдо $N_2$:

$N = N_1 + N_2$

Подставляем данные из условия задачи:

$N = 5 + 6 = 11$

Таким образом, существует 11 различных способов выбрать обед, состоящий из одного блюда. Этот результат соответствует варианту ответа 1).

Ответ: 11 способов.

3. Сколькими способами можно из 7 лыжников выбрать троих и расставить их по трём этапам эстафеты?

Эта задача относится к разделу комбинаторики. Нам нужно выбрать 3 лыжников из 7 и расставить их по трём этапам эстафеты. Поскольку порядок, в котором лыжники расставлены по этапам, имеет значение, то для решения задачи необходимо найти число размещений.

Способ 1: Применение правила умножения

Рассуждаем последовательно, выбирая лыжника для каждого этапа:

• На первый этап можно выбрать любого из 7 лыжников, поэтому у нас есть 7 вариантов.
• После того как лыжник для первого этапа определен, на второй этап остается 6 кандидатов, то есть 6 вариантов.
• Соответственно, на третий этап остается 5 лыжников, то есть 5 вариантов.

Общее количество способов, согласно правилу умножения, равно произведению числа вариантов на каждом шаге:
$7 \times 6 \times 5 = 210$

Способ 2: Использование формулы для числа размещений

Число размещений из $n$ элементов по $k$ элементов вычисляется по формуле:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В нашей задаче общее число лыжников $n = 7$, а количество мест в эстафетной команде $k = 3$. Подставим эти значения в формулу:
$A_7^3 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 210

4. Сколько трёхзначных нечётных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4?

Задача состоит в том, чтобы найти количество трёхзначных нечётных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, при условии, что все цифры в числе различны.

Трёхзначное число можно представить в виде $ABC$, где $A$ — цифра сотен, $B$ — цифра десятков, $C$ — цифра единиц.

Для составления таких чисел необходимо учесть три условия:
1. Число является трёхзначным, поэтому первая цифра $A$ не может быть 0. Следовательно, $A \in \{1, 2, 3, 4\}$.
2. Число является нечётным, поэтому последняя цифра $C$ должна быть нечётной. Из набора $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ нечётными являются 1 и 3. Следовательно, $C \in \{1, 3\}$.
3. Все цифры в числе различны: $A \neq B$, $A \neq C$, $B \neq C$.

Для подсчёта количества возможных чисел удобно рассмотреть два случая, в зависимости от последней цифры.

Если последняя цифра $C = 1$, то для выбора остальных цифр получаем следующее.
На место первой цифры $A$ (сотни) можно выбрать любую из цифр $\{2, 3, 4\}$, так как $A$ не может быть 0 и не может быть 1 (поскольку цифры не повторяются). Это даёт 3 варианта выбора.
После выбора цифр $A$ и $C$ (например, $A=2, C=1$), для выбора второй цифры $B$ (десятки) остаются все цифры из исходного набора $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ за исключением уже использованных $A$ и $C$. Всего в наборе 5 цифр, две уже заняты, значит, для $B$ остаётся $5 - 2 = 3$ варианта.
Таким образом, общее количество чисел для этого случая вычисляется по правилу произведения: $3 \text{ (для } A) \times 3 \text{ (для } B) \times 1 \text{ (для } C) = 9$ чисел.

Если последняя цифра $C = 3$, рассуждаем аналогично.
На место первой цифры $A$ (сотни) можно выбрать любую из цифр $\{1, 2, 4\}$, так как $A \neq 0$ и $A \neq 3$. Это даёт 3 варианта выбора.
Для второй цифры $B$ (десятки) также остаётся $5 - 2 = 3$ варианта, так как две цифры ($A$ и $C$) уже выбраны.
Общее количество чисел для этого случая: $3 \text{ (для } A) \times 3 \text{ (для } B) \times 1 \text{ (для } C) = 9$ чисел.

Общее количество искомых трёхзначных нечётных чисел равно сумме количеств чисел, найденных в обоих случаях: $9 + 9 = 18$.

Ответ: 18

5. В кондитерском магазине имеется 5 различных тортов фабрики «Сладкоежка», 4 различных торта фабрики «Сластёна» и 3 различных торта фабрики «Лакомка». Сколькими способами можно приобрести набор из двух тортов, содержащий торты разных фабрик?

Для решения этой задачи необходимо посчитать количество способов выбрать два торта от разных производителей. В магазине представлены торты трех фабрик:
- «Сладкоежка» - 5 различных тортов.
- «Сластёна» - 4 различных торта.
- «Лакомка» - 3 различных торта.

Чтобы составить набор из двух тортов разных фабрик, существуют три взаимоисключающих варианта:

1. Выбрать один торт фабрики «Сладкоежка» и один торт фабрики «Сластёна»
Количество способов выбрать один торт из 5 тортов «Сладкоежки» равно 5. Количество способов выбрать один торт из 4 тортов «Сластёны» равно 4. Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее количество способов для этого случая составляет:
$5 \times 4 = 20$ способов.

2. Выбрать один торт фабрики «Сладкоежка» и один торт фабрики «Лакомка»
Количество способов выбрать один торт из 5 тортов «Сладкоежки» равно 5. Количество способов выбрать один торт из 3 тортов «Лакомки» равно 3. Общее количество способов для этого случая:
$5 \times 3 = 15$ способов.

3. Выбрать один торт фабрики «Сластёна» и один торт фабрики «Лакомка»
Количество способов выбрать один торт из 4 тортов «Сластёны» равно 4. Количество способов выбрать один торт из 3 тортов «Лакомки» равно 3. Общее количество способов для этого случая:
$4 \times 3 = 12$ способов.

Поскольку эти три варианта являются взаимоисключающими, для нахождения общего числа способов нужно сложить количество способов для каждого варианта, используя правило сложения:
$N_{общ} = 20 + 15 + 12 = 47$ способов.

Ответ: 47