Страница 70 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Вероятность купить бракованную лампочку определённого производителя составляет 0,008. Сколько бракованных лампочек гарантированно содержит партия из 1000 лампочек этого производителя?

1) больше 8

2) меньше 8

3) ответ дать невозможно

4) ровно 8

Решение

В данной задаче указана вероятность того, что одна отдельно взятая лампочка окажется бракованной. Эта вероятность равна $p = 0,008$.

Мы можем найти математическое ожидание (наиболее вероятное количество) бракованных лампочек в партии из $n = 1000$ штук. Оно вычисляется как произведение количества лампочек на вероятность брака для одной лампочки:
$E = n \times p = 1000 \times 0,008 = 8$.

Число 8 — это среднее ожидаемое количество бракованных лампочек. Однако теория вероятностей не даёт гарантий для конкретного случая (одной партии). В отдельно взятой партии из 1000 лампочек количество бракованных изделий — это случайная величина. Может случиться так, что бракованных лампочек не будет совсем, или их будет 7, или 8, или 9, или любое другое количество от 0 до 1000.

Ключевое слово в вопросе — "гарантированно". Поскольку исход является случайным, мы не можем ничего гарантировать. Нельзя гарантировать, что бракованных лампочек будет ровно 8, больше 8 или меньше 8. Любой из этих исходов возможен.

Следовательно, дать гарантированный ответ на поставленный вопрос невозможно.

Ответ: 3) ответ дать невозможно

2. Чтобы сдать экзамен по математике, надо выучить 28 билетов. Михаил хорошо выучил ответы на 21 билет, а ответы на остальные — посредственно. Какова вероятность того, что на экзамене Михаилу достанется посредственно выученный билет?

1) $\frac{3}{4}$

2) $\frac{1}{3}$

3) $\frac{1}{4}$

4) $\frac{1}{2}$

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных для этого события исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

1. Найдем общее число исходов.
Всего на экзамене 28 билетов. Вытаскивание любого из этих билетов является равновозможным событием. Следовательно, общее число исходов $N$ равно 28. $N = 28$

2. Найдем число благоприятных исходов.
Благоприятным исходом в данном случае является вытаскивание билета, который Михаил выучил посредственно. Чтобы найти количество таких билетов, нужно из общего числа билетов вычесть количество хорошо выученных билетов. $28 - 21 = 7$ Таким образом, число благоприятных исходов $m$ равно 7.

3. Вычислим вероятность.
Вероятность $P$ того, что Михаилу достанется посредственно выученный билет, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P = \frac{m}{N} = \frac{7}{28}$

Сократим полученную дробь на 7: $\frac{7}{28} = \frac{1}{4}$

Следовательно, вероятность того, что Михаилу достанется посредственно выученный билет, равна $\frac{1}{4}$. Это соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: $\frac{1}{4}$

3. В ящике лежат 4 чёрных, 8 красных, 12 синих и 16 зелёных карандашей. Из ящика наугад берут один карандаш. Какова вероятность того, что:

1) выбранный карандаш окажется зелёным или красным;

2) выбранный карандаш не будет чёрным?

Для решения задачи сначала определим общее количество карандашей в ящике, которое представляет собой общее число возможных исходов $N$.

$N = 4 (\text{чёрных}) + 8 (\text{красных}) + 12 (\text{синих}) + 16 (\text{зелёных}) = 40$

Вероятность любого события вычисляется по классической формуле $P = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

1) выбранный карандаш окажется зелёным или красным;

Найдём количество благоприятных исходов ($m_1$) для этого события. Благоприятным исходом является выбор зелёного или красного карандаша.

Число зелёных карандашей: 16.
Число красных карандашей: 8.

События "вытащить зелёный карандаш" и "вытащить красный карандаш" являются несовместными, поэтому количество благоприятных исходов равно сумме их количеств:

$m_1 = 16 + 8 = 24$

Теперь рассчитаем вероятность $P_1$:

$P_1 = \frac{m_1}{N} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5} = 0.6$

Ответ: $0.6$

2) выбранный карандаш не будет чёрным?

Найдём количество благоприятных исходов ($m_2$) для этого события. Благоприятным исходом является выбор любого карандаша, кроме чёрного.

Это можно сделать двумя способами:

Способ 1: Сложить количество всех карандашей, кроме чёрных.

$m_2 = 8 (\text{красных}) + 12 (\text{синих}) + 16 (\text{зелёных}) = 36$

Способ 2: Вычесть количество чёрных карандашей из общего числа карандашей.

$m_2 = N - (\text{количество чёрных}) = 40 - 4 = 36$

Теперь рассчитаем вероятность $P_2$:

$P_2 = \frac{m_2}{N} = \frac{36}{40} = \frac{9}{10} = 0.9$

Ответ: $0.9$

4. В коробке лежат 48 карточек, пронумерованных числами от 1 до 48. Какова вероятность того, что номер наугад взятой карточки будет кратен числу 6?

Для нахождения вероятности события воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность $P$ события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов $M$ к общему числу всех равновозможных исходов $N$.

Формула для вычисления вероятности: $P = M/N$.

1. Найдём общее число исходов (N).
В коробке лежат 48 карточек, пронумерованных от 1 до 48. Так как мы вытягиваем одну карточку наугад, общее число равновозможных исходов равно общему количеству карточек. Следовательно, $N = 48$.

2. Найдём число благоприятствующих исходов (M).
Благоприятствующий исход — это вытягивание карточки с номером, кратным числу 6. Нам нужно найти, сколько чисел от 1 до 48 делятся на 6 без остатка. Перечислим эти числа: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48.
Всего таких чисел 8. Значит, число благоприятствующих исходов $M = 8$.
Другой способ найти это количество — разделить 48 на 6: $48 / 6 = 8$.

3. Вычислим вероятность (P).
Теперь подставим найденные значения $M$ и $N$ в формулу вероятности:
$P = M/N = 8/48$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:
$P = 8/48 = 1/6$

Ответ: $1/6$

5. В ящике с мороженым лежат 15 пачек белого и некоторое количество пачек шоколадного мороженого. Все пачки имеют одинаковую форму и размер. Сколько в ящике пачек шоколадного мороженого, если вероятность вынуть наугад из него пачку белого мороженого равна 0,6?

Пусть $x$ — количество пачек шоколадного мороженого в ящике.

В ящике также находится 15 пачек белого мороженого.

Следовательно, общее количество пачек мороженого в ящике равно $15 + x$.

Вероятность ($P$) случайного события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов. В данном случае, событие — это выбор пачки белого мороженого.

Число благоприятных исходов — это количество пачек белого мороженого, то есть 15.

Общее число исходов — это общее количество пачек мороженого, то есть $15 + x$.

По условию, вероятность вынуть пачку белого мороженого равна 0,6. Составим уравнение на основе формулы вероятности: $P(\text{белое}) = \frac{\text{Количество пачек белого мороженого}}{\text{Общее количество пачек}} = 0,6$

Подставим наши значения в формулу: $\frac{15}{15 + x} = 0,6$

Теперь решим это уравнение относительно $x$: $15 = 0,6 \cdot (15 + x)$ $15 = 0,6 \cdot 15 + 0,6 \cdot x$ $15 = 9 + 0,6x$ $15 - 9 = 0,6x$ $6 = 0,6x$ $x = \frac{6}{0,6}$ $x = 10$

Таким образом, в ящике находится 10 пачек шоколадного мороженого.

Ответ: 10