Страница 72 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Вероятность купить бракованный аккумулятор определённого производителя составляет 0,015. Сколько бракованных аккумуляторов гарантированно содержит партия из 1000 аккумуляторов этого производителя?

1) ответ дать невозможно

2) ровно 15

3) больше 15

4) меньше 15

В этой задаче речь идет о вероятностном событии. Вероятность того, что один аккумулятор окажется бракованным, составляет $p = 0,015$. Это значение представляет собой среднюю долю бракованных аккумуляторов в очень большом количестве продукции.

Для партии из $N = 1000$ аккумуляторов мы можем рассчитать ожидаемое (или среднее) количество бракованных изделий. Оно вычисляется как произведение общего количества на вероятность брака:

$E(X) = N \times p = 1000 \times 0,015 = 15$

Таким образом, в среднем в партии из 1000 аккумуляторов будет 15 бракованных. Однако ключевое слово в вопросе — "гарантированно". Вероятностный характер процесса означает, что фактическое количество бракованных аккумуляторов в конкретной партии может отличаться от среднего значения. Это случайная величина.

В одной партии может оказаться 14 бракованных аккумуляторов, в другой — 16, а в какой-то (с очень малой вероятностью) их может не быть совсем ($0$) или, наоборот, могут быть бракованными все $1000$ штук. Поскольку результат случаен, мы не можем гарантировать какое-либо конкретное число бракованных аккумуляторов (ни ровно 15, ни больше 15, ни меньше 15).

Следовательно, дать точный и гарантированный ответ на поставленный вопрос невозможно.

Ответ: 1) ответ дать невозможно

2. На блюде лежат 35 пирожков, из них 6 пирожков с капустой, 8 — с рисом и яйцом, а остальные — с мясом. Екатерина наугад выбирает один пирожок. Какова вероятность того, что он окажется с мясом?

1) $ \frac{3}{5} $

2) $ \frac{2}{5} $

3) $ \frac{2}{3} $

4) $ \frac{3}{4} $

Для решения задачи используется классическое определение вероятности: вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

1. Найдем общее число всех возможных исходов.

Общее число исходов равно общему количеству пирожков на блюде. По условию, всего 35 пирожков.

$n = 35$

2. Найдем число благоприятствующих исходов.

Благоприятствующий исход — это выбор пирожка с мясом. Чтобы найти количество пирожков с мясом, нужно из общего числа пирожков вычесть количество пирожков с другими начинками (с капустой и с рисом и яйцом).

Количество пирожков с капустой: 6.

Количество пирожков с рисом и яйцом: 8.

Найдем количество пирожков с мясом ($m$):

$m = 35 - 6 - 8 = 35 - 14 = 21$

Таким образом, число благоприятствующих исходов равно 21.

3. Рассчитаем вероятность.

Вероятность ($P$) того, что случайно выбранный пирожок окажется с мясом, вычисляется по формуле:

$P = \frac{m}{n} = \frac{21}{35}$

Теперь необходимо сократить полученную дробь. Наибольший общий делитель для 21 и 35 — это 7.

$\frac{21}{35} = \frac{21 \div 7}{35 \div 7} = \frac{3}{5}$

Вероятность того, что пирожок окажется с мясом, равна $\frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

3. Перед началом работы школьного буфета для продажи было приготовлено 200 пирожков: 40 пирожков с мясом, 20 пирожков с капустой, 30 пирожков с творогом, а остальные — с вишней и с малиной, причём их было поровну. Первый покупатель выбирает пирожок случайным образом. Какова вероятность того, что этот пирожок:

1) будет с мясом или с капустой;

2) не будет с вишней?

По условию задачи, всего было приготовлено 200 пирожков. Это общее число всех возможных исходов, $N=200$.

Из них:

• 40 пирожков с мясом;
• 20 пирожков с капустой;
• 30 пирожков с творогом.

Найдем количество пирожков с вишней и малиной. Сначала вычислим сумму уже известных пирожков:
$40 + 20 + 30 = 90$ пирожков.

Теперь найдем количество оставшихся пирожков (с вишней и малиной):
$200 - 90 = 110$ пирожков.

Так как пирожков с вишней и с малиной было поровну, разделим их количество на 2:
$110 \div 2 = 55$ пирожков с вишней;
$110 \div 2 = 55$ пирожков с малиной.

Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

1) будет с мясом или с капустой;
Событие, которое нас интересует, — это выбор пирожка с мясом или с капустой. Число благоприятных исходов ($m_1$) равно сумме количества пирожков с мясом и с капустой:
$m_1 = 40 + 20 = 60$.
Общее число исходов $N = 200$.
Вероятность данного события:
$P_1 = \frac{m_1}{N} = \frac{60}{200} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0,3$.
Ответ: 0,3.

2) не будет с вишней?
Событие, которое нас интересует, — это выбор любого пирожка, кроме пирожка с вишней. Число пирожков с вишней равно 55.
Число благоприятных исходов ($m_2$) равно общему количеству пирожков минус количество пирожков с вишней:
$m_2 = 200 - 55 = 145$.
Общее число исходов $N = 200$.
Вероятность данного события:
$P_2 = \frac{m_2}{N} = \frac{145}{200}$.
Сократим дробь на 5:
$P_2 = \frac{145 \div 5}{200 \div 5} = \frac{29}{40} = 0,725$.
Ответ: 0,725.

4. В коробке лежат 54 карточки, пронумерованные числами от 1 до 54. Какова вероятность того, что номер наугад взятой карточки будет кратен числу 9, но не будет кратен числу 2?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = m/N$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Общее число равновозможных исходов $N$ равно количеству карточек в коробке. По условию, в коробке 54 карточки, следовательно, $N = 54$.

Найдем число благоприятствующих исходов $m$. Благоприятным исходом является выбор карточки, номер которой кратен 9, но не кратен 2. Число, которое не кратно 2, является нечетным. Значит, нам нужно найти количество нечетных чисел от 1 до 54, которые делятся на 9.

Сначала выпишем все числа от 1 до 54, которые кратны 9:

9, 18, 27, 36, 45, 54.

Теперь из этого списка выберем те числа, которые не кратны 2, то есть являются нечетными:

9, 27, 45.

Таким образом, количество благоприятствующих исходов $m = 3$.

Теперь вычислим вероятность, подставив найденные значения в формулу:

$P = m/N = 3/54$

Сократим полученную дробь на 3:

$P = 3/54 = 1/18$

Ответ: $1/18$

5. В коробке лежат 4 карточки, на которых написаны числа 2, 3, 4 и 5. Какова вероятность того, что сумма чисел, записанных на двух наугад вынутых карточках, будет равна 7?

Для решения этой задачи воспользуемся классической формулой вероятности: $P(A) = m/n$, где $n$ — общее число всех возможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

1. Найдём общее число возможных исходов (n).

В коробке находятся 4 карточки. Нам нужно выбрать 2 из них. Порядок, в котором мы вынимаем карточки, не имеет значения (сумма чисел на карточках {2, 3} такая же, как на {3, 2}). Следовательно, мы должны найти число сочетаний из 4 элементов по 2.

Формула для числа сочетаний:

$n = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Таким образом, всего существует 6 различных пар карточек, которые можно вынуть. Вот они:

• {2, 3}
• {2, 4}
• {2, 5}
• {3, 4}
• {3, 5}
• {4, 5}

2. Найдём число благоприятных исходов (m).

Благоприятный исход — это когда сумма чисел на двух вынутых карточках равна 7. Проверим все возможные пары:

• 2 + 3 = 5
• 2 + 4 = 6
• 2 + 5 = 7 (благоприятный исход)
• 3 + 4 = 7 (благоприятный исход)
• 3 + 5 = 8
• 4 + 5 = 9

Как видим, существует 2 пары, сумма чисел в которых равна 7: {2, 5} и {3, 4}. Значит, число благоприятных исходов $m = 2$.

3. Вычислим вероятность.

Подставим найденные значения $m$ и $n$ в формулу вероятности:

$P(\text{сумма равна 7}) = \frac{m}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$