Страница 71 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Вероятность купить бракованную батарейку определённого производителя составляет 0,012. Сколько бракованных батареек гарантированно содержит партия

из 1000 батареек этого производителя?

1) ровно 12

2) меньше 12

3) больше 12

4) ответ дать невозможно

Данная задача проверяет понимание разницы между вероятностным прогнозом, который даёт математическое ожидание, и гарантированным результатом.

Нам даны следующие условия:
- Вероятность того, что одна батарейка является бракованной, составляет $p = 0,012$.
- Общее количество батареек в партии составляет $n = 1000$.

Мы можем рассчитать ожидаемое (наиболее вероятное) количество бракованных батареек в такой партии. Эта величина называется математическим ожиданием и вычисляется по формуле:
$E = n \cdot p$
Подставив наши значения, получим:
$E = 1000 \cdot 0,012 = 12$

Число 12 — это ожидаемое среднее количество бракованных батареек. Это значит, что если бы мы взяли очень много подобных партий, то в среднем в каждой из них было бы по 12 бракованных батареек.

Однако ключевое слово в вопросе — "гарантированно". Вероятность описывает лишь степень возможности, но не гарантирует исход для конечной выборки. В одной конкретной партии из 1000 батареек фактическое число бракованных изделий является случайной величиной. Их может оказаться и меньше 12 (например, 10), и ровно 12, и больше 12 (например, 15). Теоретически возможно даже, что все батарейки будут исправными (0 бракованных) или, наоборот, все 1000 окажутся с браком, хотя такие исходы крайне маловероятны.

Поскольку результат случаен, мы не можем дать никаких гарантий относительно точного количества бракованных батареек в одной конкретной партии.

Ответ: 4) ответ дать невозможно

2. Антон и Максим решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе 20 кабинок, из них 6 синего цвета, 9 — зелёного, а остальные — красного. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Какова вероятность того, что Антон и Максим прокатятся в красной кабинке?

1) $\frac{3}{4}$

2) $\frac{1}{4}$

3) $\frac{1}{5}$

4) $\frac{1}{3}$

Для решения задачи нужно рассчитать вероятность того, что случайно подошедшая кабинка окажется красной. Вероятность события находится по классической формуле:

$P = \frac{m}{n}$

где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число благоприятствующих этому событию исходов.

1. Сначала определим общее число исходов. По условию, всего на колесе обозрения 20 кабинок. Каждая из них может подойти к платформе. Следовательно, общее число равновозможных исходов $n = 20$.

2. Теперь найдём число благоприятных исходов. Благоприятный исход — это посадка в красную кабинку. Для этого нужно посчитать, сколько всего красных кабинок на колесе.

Известно, что из 20 кабинок 6 — синие, а 9 — зелёные. Найдём их суммарное количество:

$6 + 9 = 15$ (синих и зелёных кабинок)

Все остальные кабинки — красные. Чтобы найти их количество, вычтем из общего числа кабинок сумму синих и зелёных:

$20 - 15 = 5$ (красных кабинок)

Таким образом, число благоприятных исходов $m = 5$.

3. Подставим найденные значения в формулу вероятности:

$P = \frac{m}{n} = \frac{5}{20}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$P = \frac{5 \div 5}{20 \div 5} = \frac{1}{4}$

Таким образом, вероятность того, что Антон и Максим прокатятся в красной кабинке, составляет $\frac{1}{4}$. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: $\frac{1}{4}$

3. Перед открытием магазина канцтоваров в нём было 150 ручек: 34 красных, 36 синих, 48 чёрных, в остальные — зелёные и фиолетовые, причём их было поровну. Первый покупатель выбирает ручку случайным образом. Какова вероятность того, что эта ручка:

1) будет красной или чёрной;

2) не будет зелёной?

Для начала определим количество ручек каждого цвета. Всего ручек: 150. Из них:

• Красных: 34
• Синих: 36
• Чёрных: 48

Найдём количество зелёных и фиолетовых ручек. Сначала вычтем из общего количества ручек число ручек известных цветов:$150 - (34 + 36 + 48) = 150 - 118 = 32$. В условии сказано, что зелёных и фиолетовых ручек поровну. Следовательно, количество ручек каждого из этих цветов равно:$32 / 2 = 16$. Итак, в магазине 16 зелёных и 16 фиолетовых ручек.

Вероятность события вычисляется по формуле $P = m/n$, где $n$ — общее число возможных исходов, а $m$ — число благоприятных исходов. Общее число исходов $n$ равно общему количеству ручек, то есть $n = 150$. Благоприятным исходом является выбор красной или чёрной ручки. Найдём их общее количество:$m = 34 (\text{красных}) + 48 (\text{чёрных}) = 82$. Теперь вычислим вероятность:$P = 82/150$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:$P = 41/75$.

Ответ: $41/75$.

Общее число исходов $n$ остаётся прежним: $n = 150$. Благоприятный исход — это выбор любой ручки, кроме зелёной. Мы знаем, что зелёных ручек 16. Найдём количество не зелёных ручек:$m = 150 (\text{всего}) - 16 (\text{зелёных}) = 134$. Вычислим вероятность этого события:$P = 134/150$. Сократим дробь на 2:$P = 67/75$.

Ответ: $67/75$.

4. В коробке лежат 56 карточек, пронумерованных числами от 1 до 56. Какова вероятность того, что номер наугад взятой карточки будет кратен числу 7, но не будет кратен числу 3?

Для решения задачи используется формула классической вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Общее число исходов $N$ равно общему количеству карточек в коробке. Так как карточки пронумерованы от 1 до 56, то $N = 56$.

2. Найдем число благоприятствующих исходов $m$. Благоприятным исходом является выбор карточки с номером, который кратен 7, но не кратен 3.

Сначала найдем все числа от 1 до 56, которые кратны 7. Для этого разделим 56 на 7:
$\lfloor \frac{56}{7} \rfloor = 8$.
Всего 8 таких чисел: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56.

Теперь из этого списка чисел необходимо исключить те, которые также кратны 3. Число, которое одновременно кратно и 7, и 3, должно быть кратно их наименьшему общему кратному, то есть $НОК(7, 3) = 21$.
Найдем, сколько чисел от 1 до 56 кратны 21:
$\lfloor \frac{56}{21} \rfloor = 2$.
Это два числа: 21 и 42.

Таким образом, количество чисел, которые кратны 7, но не кратны 3, равно разности между общим количеством чисел, кратных 7, и количеством чисел, кратных 21:
$m = 8 - 2 = 6$.

3. Теперь вычислим искомую вероятность:
$P = \frac{m}{N} = \frac{6}{56}$.

Сократим полученную дробь на 2:
$P = \frac{6 \div 2}{56 \div 2} = \frac{3}{28}$.

Ответ: $\frac{3}{28}$

5. В коробке лежат 4 карточки, на которых написаны числа 1, 2, 3 и 5. Какова вероятность того, что произведение чисел, записанных на двух наугад вынутых карточках, будет нечётным числом?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Формула выглядит так: $P = \frac{m}{n}$.

Нахождение общего числа исходов (n)
В коробке находится 4 карточки. Нам нужно случайным образом выбрать 2 из них. Порядок, в котором мы вынимаем карточки, не имеет значения, поэтому для нахождения общего числа возможных пар мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
В нашем случае общее количество карточек $n = 4$, а количество карточек, которые мы вынимаем, $k = 2$.
$n = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.
Таким образом, существует всего 6 уникальных пар карточек, которые можно вытащить.

Нахождение числа благоприятных исходов (m)
Нас интересует событие, при котором произведение чисел на двух вынутых карточках будет нечетным. Произведение двух целых чисел является нечетным тогда и только тогда, когда оба сомножителя являются нечетными.
Из имеющихся чисел {1, 2, 3, 5} нечетными являются три числа: {1, 3, 5}.
Следовательно, для получения нечетного произведения нам необходимо выбрать две карточки из этих трех нечетных. Найдем количество таких сочетаний, где $n = 3$ (количество нечетных чисел) и $k = 2$ (количество выбираемых карточек).
$m = C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3}{1} = 3$.
Существует 3 пары карточек, произведение чисел на которых будет нечетным: (1, 3), (1, 5) и (3, 5).

Расчет вероятности
Теперь, зная общее число исходов ($n=6$) и число благоприятных исходов ($m=3$), мы можем рассчитать искомую вероятность:
$P = \frac{m}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: 0,5