Страница 76 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите медиану выборки 2, 3, 6, 3, 5, 9, 2, 8, 10, 1.

1) 3

2) 5

3) 7

4) 4

Медиана — это число, которое находится в середине упорядоченного набора чисел. Чтобы найти медиану, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Упорядочить все числа выборки по возрастанию.

Исходная выборка: 2, 3, 6, 3, 5, 9, 2, 8, 10, 1.

Упорядоченный (ранжированный) ряд: 1, 2, 2, 3, 3, 5, 6, 8, 9, 10.

2. Определить количество элементов в выборке.

В данной выборке 10 элементов. Обозначим количество элементов как $n$. Таким образом, $n=10$.

3. Найти медиану.

Поскольку количество элементов в выборке чётное ($n=10$), медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных элементов.

Позиции этих элементов в упорядоченном ряду: $n/2$ и $n/2 + 1$.

Первая позиция: $10 / 2 = 5$.

Вторая позиция: $10 / 2 + 1 = 6$.

Найдём элементы, стоящие на 5-м и 6-м местах в упорядоченном ряду:

1, 2, 2, 3, 3, 5, 6, 8, 9, 10.

Пятый элемент — это 3, а шестой — 5.

Теперь вычислим их среднее арифметическое:

Медиана = $\frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Медиана данной выборки равна 4. Это соответствует варианту ответа 4).

Ответ: 4

2. Укажите моду выборки 2, 3, 6, 3, 5, 9, 2, 8, 10, 1.

1) 2

2) 3

3) 2 и 3

4) 8 и 9

2.

Мода статистической выборки — это значение, которое встречается в этой выборке наиболее часто. Дана выборка чисел: $2, 3, 6, 3, 5, 9, 2, 8, 10, 1$.

Чтобы найти моду, необходимо посчитать частоту появления каждого числа в выборке:

- число $1$ встречается $1$ раз;
- число $2$ встречается $2$ раза;
- число $3$ встречается $2$ раза;
- число $5$ встречается $1$ раз;
- число $6$ встречается $1$ раз;
- число $8$ встречается $1$ раз;
- число $9$ встречается $1$ раз;
- число $10$ встречается $1$ раз.

Наибольшая частота в данной выборке равна $2$. Эту частоту имеют два значения: $2$ и $3$. Следовательно, у этой выборки две моды. Такая выборка называется бимодальной.

Таким образом, модами выборки являются числа $2$ и $3$. Это соответствует варианту ответа под номером $3$.

Ответ: $3$

3. В таблице приведены данные об объёме выручки киоска по продаже соков в течение недели (в воскресенье киоск не работает).

Пользуясь данной таблицей, найдите:

1) размах данной выборки;

2) среднее значение выборки;

3) медиану выборки.

1) размах данной выборки
Размах выборки – это разность между наибольшим и наименьшим значениями в этой выборке. Сначала найдем наибольшее и наименьшее значения выручки из таблицы:

• Наибольшее значение (в субботу): 95 000 р.
• Наименьшее значение (в понедельник): 40 000 р.

Теперь вычислим размах: $95000 - 40000 = 55000$ р.
Ответ: 55 000 р.

2) среднее значение выборки
Среднее значение (или среднее арифметическое) выборки – это сумма всех ее значений, деленная на их количество. В выборке 6 значений выручки. Найдем их сумму:
$40000 + 70000 + 50000 + 75000 + 90000 + 95000 = 420000$ р.
Теперь разделим сумму на количество дней (6):
$ \frac{420000}{6} = 70000 $ р.
Ответ: 70 000 р.

3) медиану выборки
Медиана – это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных. Если в ряду четное количество элементов, медиана равна среднему арифметическому двух центральных значений.
Сначала упорядочим значения выручки по возрастанию:
40 000, 50 000, 70 000, 75 000, 90 000, 95 000.
Так как в ряду 6 (четное число) элементов, медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных элементов: 70 000 и 75 000.
$ \frac{70000 + 75000}{2} = \frac{145000}{2} = 72500 $ р.
Ответ: 72 500 р.

4. На диаграмме, изображённой на рисунке 26, приведены результаты опроса жителей некоторого города о качестве работы городского транспорта (респондентам было предложено выставить оценку качества работы транспорта по 6-балльной шкале). Найдите:

1) моду выборки;

2) среднее значение выборки.

Рис. 26

Количество респондентов

350

250

150

50

1

2

3

4

5

6

Оценка в баллах

Для решения задачи проанализируем данные, представленные на столбчатой диаграмме. На диаграмме показано, сколько респондентов поставили ту или иную оценку качеству работы транспорта по 6-балльной шкале.

Сначала определим количество респондентов для каждой оценки:

• Оценка 1: 150 респондентов
• Оценка 2: 250 респондентов
• Оценка 3: 350 респондентов
• Оценка 4: 200 респондентов
• Оценка 5: 100 респондентов
• Оценка 6: 50 респондентов

1) моду выборки;
Мода выборки – это значение, которое встречается в выборке наиболее часто. В данном случае это оценка, которую поставило наибольшее число респондентов.
Сравнивая количество респондентов для каждой оценки, мы видим, что максимальное количество респондентов (350 человек) поставили оценку «3».
Следовательно, модой данной выборки является оценка 3.
Ответ: 3.

2) среднее значение выборки.
Среднее значение выборки (или среднее арифметическое взвешенное) вычисляется по формуле: $ \bar{x} = \frac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + \dots + x_n f_n}{f_1 + f_2 + \dots + f_n} $ где $x_i$ – это значение оценки, а $f_i$ – это соответствующее количество респондентов (частота).
Сначала найдем общее количество респондентов: $ N = 150 + 250 + 350 + 200 + 100 + 50 = 1100 $
Теперь найдем сумму произведений оценок на их частоты: $ S = (1 \cdot 150) + (2 \cdot 250) + (3 \cdot 350) + (4 \cdot 200) + (5 \cdot 100) + (6 \cdot 50) $
$ S = 150 + 500 + 1050 + 800 + 500 + 300 = 3300 $
Теперь вычислим среднее значение: $ \bar{x} = \frac{S}{N} = \frac{3300}{1100} = 3 $
Среднее значение выборки равно 3.
Ответ: 3.