Страница 82 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какая из данных последовательностей является арифметической прогрессией?

1) 9, 11, 13, 16

2) 4, 1, –2, –5

3) 5, 10, 20, 40

4) 10, 9, 8, 6

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением к нему одного и того же числа, называемого разностью прогрессии ($d$). Чтобы определить, какая из предложенных последовательностей является арифметической, необходимо проверить, является ли разность между соседними членами постоянной для каждой последовательности.

1) 9, 11, 13, 16

Найдем разность между соседними членами последовательности:
$a_2 - a_1 = 11 - 9 = 2$
$a_3 - a_2 = 13 - 11 = 2$
$a_4 - a_3 = 16 - 13 = 3$
Разность не является постоянной, так как $2 \neq 3$. Следовательно, эта последовательность не является арифметической прогрессией.

2) 4, 1, –2, –5

Найдем разность между соседними членами последовательности:
$a_2 - a_1 = 1 - 4 = -3$
$a_3 - a_2 = -2 - 1 = -3$
$a_4 - a_3 = -5 - (-2) = -5 + 2 = -3$
Разность между всеми соседними членами постоянна и равна $-3$. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией.

3) 5, 10, 20, 40

Найдем разность между соседними членами последовательности:
$a_2 - a_1 = 10 - 5 = 5$
$a_3 - a_2 = 20 - 10 = 10$
$a_4 - a_3 = 40 - 20 = 20$
Разность не является постоянной. Следовательно, эта последовательность не является арифметической прогрессией.

4) 10, 9, 8, 6

Найдем разность между соседними членами последовательности:
$a_2 - a_1 = 9 - 10 = -1$
$a_3 - a_2 = 8 - 9 = -1$
$a_4 - a_3 = 6 - 8 = -2$
Разность не является постоянной, так как $-1 \neq -2$. Следовательно, эта последовательность не является арифметической прогрессией.

Таким образом, единственная последовательность, которая удовлетворяет определению арифметической прогрессии, — это последовательность под номером 2.
Ответ: 2

2. Чему равна разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = 6$, $a_2 = 1$?

1) 5 2) 7 3) -7 4) -5

Разность арифметической прогрессии, обозначаемая буквой $d$, — это постоянная величина, на которую каждый последующий член прогрессии отличается от предыдущего. Чтобы найти разность, нужно из любого члена прогрессии вычесть предшествующий ему член.

Формула для нахождения разности арифметической прогрессии:$d = a_{n+1} - a_n$

В условии задачи даны первый ($a_1$) и второй ($a_2$) члены прогрессии:$a_1 = 6$$a_2 = 1$

Для нахождения разности $d$ подставим данные значения в формулу, взяв $n=1$:$d = a_2 - a_1 = 1 - 6 = -5$

Таким образом, разность данной арифметической прогрессии равна -5, что соответствует варианту ответа 4).

Ответ: -5

3. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: ..., $12$, $x$, $24$, $30$, ... . Найдите значение $x$.

В арифметической прогрессии разность между любым последующим и предыдущим членом является постоянной величиной. Эта величина называется разностью прогрессии ($d$).

Дана последовательность членов арифметической прогрессии: ..., 12, $x$, 24, 30, ...

Способ 1: Через разность прогрессии

Сначала найдем разность прогрессии $d$, используя два известных последовательных члена — 24 и 30.
$d = 30 - 24 = 6$.
Зная разность, можно найти $x$. Так как $x$ стоит после 12, то:
$x = 12 + d = 12 + 6 = 18$.
Можно также проверить, используя член, стоящий после $x$:
$x = 24 - d = 24 - 6 = 18$.

Способ 2: Через среднее арифметическое

Любой член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому его соседних членов. Член $x$ находится между числами 12 и 24, следовательно:
$x = \frac{12 + 24}{2} = \frac{36}{2} = 18$.
Оба способа решения приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 18

4. Дана арифметическая прогрессия: 33, 29, 25, ... Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

Дана арифметическая прогрессия ($a_n$), в которой первый член $a_1 = 33$ и второй член $a_2 = 29$.

1. Найдём разность арифметической прогрессии.
Разность арифметической прогрессии ($d$) — это разница между любым последующим и предыдущим членом. $d = a_2 - a_1 = 29 - 33 = -4$.

2. Составим неравенство для нахождения номера первого отрицательного члена.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Мы ищем первый член, который меньше нуля, то есть $a_n < 0$. Подставим известные значения $a_1=33$ и $d=-4$ в неравенство: $33 + (n-1)(-4) < 0$

3. Решим неравенство.
$33 - 4(n-1) < 0$
$33 - 4n + 4 < 0$
$37 - 4n < 0$
$37 < 4n$
$n > \frac{37}{4}$
$n > 9.25$

4. Определим номер и значение первого отрицательного члена.
Так как номер члена прогрессии ($n$) должен быть натуральным числом, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию $n > 9.25$, это $n = 10$. Следовательно, десятый член прогрессии является первым отрицательным членом. Найдём его значение по формуле n-го члена: $a_{10} = a_1 + (10-1)d = 33 + 9 \cdot (-4) = 33 - 36 = -3$.

Проверим: девятый член прогрессии $a_9 = 33 + (9-1) \cdot (-4) = 33 - 32 = 1$ (положительный), а десятый $a_{10} = -3$ (отрицательный).

Ответ: -3

5. Найдите первый член арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_5 = -0,4$, $a_{11} = -1,6$.

Для нахождения первого члена арифметической прогрессии ($a_1$) воспользуемся общей формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $d$ — разность прогрессии.

По условию нам даны пятый и одиннадцатый члены прогрессии:

$a_5 = -0,4$

$a_{11} = -1,6$

Подставим эти данные в формулу n-го члена, чтобы получить систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $a_1$ и $d$:

$a_5 = a_1 + (5-1)d \Rightarrow a_1 + 4d = -0,4$

$a_{11} = a_1 + (11-1)d \Rightarrow a_1 + 10d = -1,6$

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} a_1 + 4d = -0,4 \\ a_1 + 10d = -1,6 \end{cases}$

Чтобы найти разность $d$, вычтем первое уравнение из второго:

$(a_1 + 10d) - (a_1 + 4d) = -1,6 - (-0,4)$

$a_1 + 10d - a_1 - 4d = -1,6 + 0,4$

$6d = -1,2$

$d = \frac{-1,2}{6}$

$d = -0,2$

Теперь, зная разность прогрессии $d$, мы можем найти первый член $a_1$. Для этого подставим значение $d$ в первое уравнение системы:

$a_1 + 4 \cdot (-0,2) = -0,4$

$a_1 - 0,8 = -0,4$

$a_1 = -0,4 + 0,8$

$a_1 = 0,4$

Ответ: 0,4