Страница 87 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равна сумма девяти первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = 0,2$, $a_9 = 2,6$?

1) 126

2) 12,6

3) 11,2

4) 112

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если известны первый и $n$-й члены, используется формула:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

В условии задачи требуется найти сумму первых девяти членов, то есть $n = 9$. Нам даны:

Первый член прогрессии: $a_1 = 0,2$

Девятый член прогрессии: $a_9 = 2,6$

Подставим известные значения в формулу суммы:

$S_9 = \frac{a_1 + a_9}{2} \cdot 9$

$S_9 = \frac{0,2 + 2,6}{2} \cdot 9$

Сначала выполним сложение в числителе дроби:

$S_9 = \frac{2,8}{2} \cdot 9$

Теперь выполним деление:

$S_9 = 1,4 \cdot 9$

Наконец, выполним умножение:

$S_9 = 12,6$

Таким образом, сумма девяти первых членов арифметической прогрессии равна 12,6.

Ответ: 12,6

2. Чему равна сумма восьми первых членов арифметической прогрессии ($\$a_n\$), если $\$a_1 = 16.5\$$, а разность прогрессии равна $\$-1.5\$?

1) 24

2) 90

3) 84

4) 174

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии ($S_n$) используется формула:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — её разность, а $n$ — количество членов, сумму которых нужно найти.

По условию задачи нам даны:

Первый член прогрессии: $a_1 = 16,5$.

Разность прогрессии: $d = -1,5$.

Требуется найти сумму первых восьми членов, следовательно, $n = 8$.

Подставим известные значения в формулу:

$S_8 = \frac{2 \cdot 16,5 + (-1,5) \cdot (8-1)}{2} \cdot 8$

Выполним вычисления по шагам. Сначала вычислим значение выражения в числителе:

$2 \cdot 16,5 + (-1,5) \cdot 7 = 33 - 10,5 = 22,5$

Теперь подставим полученное значение обратно в формулу суммы:

$S_8 = \frac{22,5}{2} \cdot 8$

Сократим 8 и 2, что даст нам:

$S_8 = 22,5 \cdot 4$

Выполним умножение:

$S_8 = 90$

Таким образом, сумма восьми первых членов данной арифметической прогрессии равна 90.

Ответ: 90

3. Третий член арифметической прогрессии в 2 раза больше её первого члена. Найдите разность прогрессии, если сумма пяти её первых членов равна 180.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Формула для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

По условию задачи, третий член прогрессии в 2 раза больше её первого члена, что можно записать как $a_3 = 2a_1$. Используя формулу n-го члена для $n=3$, получаем:$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$.

Так как оба выражения равны $a_3$, мы можем их приравнять:$a_1 + 2d = 2a_1$Выразим $a_1$ через $d$:$2d = 2a_1 - a_1$$a_1 = 2d$

Второе условие задачи гласит, что сумма пяти первых членов равна 180, то есть $S_5 = 180$. Воспользуемся формулой суммы для $n=5$:$S_5 = \frac{2a_1 + (5-1)d}{2} \cdot 5 = 180$$\frac{2a_1 + 4d}{2} \cdot 5 = 180$Вынесем 2 за скобки в числителе:$\frac{2(a_1 + 2d)}{2} \cdot 5 = 180$$(a_1 + 2d) \cdot 5 = 180$Разделим обе части уравнения на 5:$a_1 + 2d = 36$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:$\begin{cases} a_1 = 2d \\ a_1 + 2d = 36 \end{cases}$Подставим выражение для $a_1$ из первого уравнения во второе:$(2d) + 2d = 36$$4d = 36$$d = \frac{36}{4}$$d = 9$

Ответ: 9

4. В первом ряду концертного зала 12 мест, а в каждом следующем ряду на 4 места больше, чем в предыдущем. Всего в концертном зале 672 места. Сколько рядов в концертном зале?

Количество мест в рядах концертного зала представляет собой арифметическую прогрессию. В этой прогрессии:

• первый член $a_1$ — это количество мест в первом ряду;
• разность прогрессии $d$ — это число, на которое увеличивается количество мест в каждом следующем ряду;
• $n$ — количество рядов;
• $S_n$ — общее количество мест в зале.

Из условия задачи нам известны следующие значения:

• $a_1 = 12$
• $d = 4$
• $S_n = 672$

Необходимо найти количество рядов $n$.

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в формулу и получим уравнение:

$672 = \frac{2 \cdot 12 + 4(n-1)}{2} \cdot n$

Теперь решим это уравнение относительно $n$:

$672 = \frac{24 + 4n - 4}{2} \cdot n$

$672 = \frac{20 + 4n}{2} \cdot n$

Вынесем общий множитель 2 из числителя в скобках:

$672 = \frac{2(10 + 2n)}{2} \cdot n$

$672 = (10 + 2n) \cdot n$

$672 = 10n + 2n^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2n^2 + 10n - 672 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 2:

$n^2 + 5n - 336 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-336) = 25 + 1344 = 1369$

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{1369} = 37$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-5 + 37}{2 \cdot 1} = \frac{32}{2} = 16$

$n_2 = \frac{-5 - 37}{2 \cdot 1} = \frac{-42}{2} = -21$

Поскольку количество рядов ($n$) не может быть отрицательным числом, то корень $n_2 = -21$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, количество рядов в концертном зале равно 16.

Ответ: 16.

5. Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, остаток при делении которых на 5 равен 2.

Задача состоит в том, чтобы найти сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 2. Такие числа можно описать общей формулой $a = 5k + 2$, где $k$ — целое число.

Двузначные натуральные числа лежат в диапазоне от 10 до 99. Найдем первое и последнее число в этом диапазоне, удовлетворяющее нашему условию.

Первое двузначное число, дающее остаток 2 при делении на 5, это 12. Для него $12 = 5 \cdot 2 + 2$. Последнее двузначное число, дающее остаток 2 при делении на 5, это 97. Для него $97 = 5 \cdot 19 + 2$.

Последовательность таких чисел (12, 17, 22, ..., 97) представляет собой арифметическую прогрессию. Найдем параметры этой прогрессии:

• Первый член прогрессии $a_1 = 12$.
• Последний член прогрессии $a_n = 97$.
• Разность прогрессии $d = 5$.

Для вычисления суммы нам нужно знать количество членов $n$ в этой прогрессии. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим известные значения:
$97 = 12 + (n-1) \cdot 5$
$97 - 12 = 5(n-1)$
$85 = 5(n-1)$
$n-1 = \frac{85}{5}$
$n-1 = 17$
$n = 18$
Итак, в последовательности 18 чисел.

Теперь найдем сумму $S_n$ всех членов этой прогрессии по формуле суммы арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим наши значения:
$S_{18} = \frac{12 + 97}{2} \cdot 18$
$S_{18} = \frac{109}{2} \cdot 18$
$S_{18} = 109 \cdot 9$
$S_{18} = 981$

Ответ: 981