Номер 4, страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. В первом ряду концертного зала 12 мест, а в каждом следующем ряду на 4 места больше, чем в предыдущем. Всего в концертном зале 672 места. Сколько рядов в концертном зале?

Количество мест в рядах концертного зала представляет собой арифметическую прогрессию. В этой прогрессии:

• первый член $a_1$ — это количество мест в первом ряду;
• разность прогрессии $d$ — это число, на которое увеличивается количество мест в каждом следующем ряду;
• $n$ — количество рядов;
• $S_n$ — общее количество мест в зале.

Из условия задачи нам известны следующие значения:

• $a_1 = 12$
• $d = 4$
• $S_n = 672$

Необходимо найти количество рядов $n$.

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в формулу и получим уравнение:

$672 = \frac{2 \cdot 12 + 4(n-1)}{2} \cdot n$

Теперь решим это уравнение относительно $n$:

$672 = \frac{24 + 4n - 4}{2} \cdot n$

$672 = \frac{20 + 4n}{2} \cdot n$

Вынесем общий множитель 2 из числителя в скобках:

$672 = \frac{2(10 + 2n)}{2} \cdot n$

$672 = (10 + 2n) \cdot n$

$672 = 10n + 2n^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2n^2 + 10n - 672 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 2:

$n^2 + 5n - 336 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-336) = 25 + 1344 = 1369$

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{1369} = 37$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-5 + 37}{2 \cdot 1} = \frac{32}{2} = 16$

$n_2 = \frac{-5 - 37}{2 \cdot 1} = \frac{-42}{2} = -21$

Поскольку количество рядов ($n$) не может быть отрицательным числом, то корень $n_2 = -21$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, количество рядов в концертном зале равно 16.

Ответ: 16.