Номер 4, страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. В первом ряду кинозала 14 мест, а в каждом следующем ряду на 2 места больше, чем в предыдущем. Всего в кинозале 420 мест. Сколько рядов в кинозале?

Данная задача описывает арифметическую прогрессию, где количество мест в каждом ряду представляет собой члены этой прогрессии.

• Первый член прогрессии, $a_1$ — количество мест в первом ряду, равен 14.
• Разность прогрессии, $d$ — число, на которое увеличивается количество мест в каждом следующем ряду, равна 2.
• Сумма всех членов прогрессии, $S_n$ — общее количество мест в кинозале, равна 420.
• Количество членов прогрессии, $n$ — искомое количество рядов в кинозале.

Для нахождения числа рядов $n$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в формулу:

$420 = \frac{2 \cdot 14 + 2(n-1)}{2} \cdot n$

Теперь решим полученное уравнение относительно $n$:

$420 = \frac{28 + 2n - 2}{2} \cdot n$

$420 = \frac{26 + 2n}{2} \cdot n$

$420 = (13 + n) \cdot n$

$420 = 13n + n^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$n^2 + 13n - 420 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 169 + 1680 = 1849$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{1849} = 43$

$n_1 = \frac{-13 + 43}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15$

$n_2 = \frac{-13 - 43}{2 \cdot 1} = \frac{-56}{2} = -28$

Поскольку количество рядов $n$ не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -28$ не является решением задачи. Таким образом, единственное подходящее решение — $n = 15$.

Ответ: 15.