Страница 88 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равна сумма восьми первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = 0,3$, $a_8 = 3,1$?

1) 11,9

2) 13,6

3) 23,8

4) 27,2

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$ можно использовать формулу, которая связывает сумму с первым и последним членами прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

В условии задачи даны все необходимые значения для вычисления суммы восьми первых членов:

• Количество членов $n = 8$
• Первый член $a_1 = 0,3$
• Восьмой член $a_8 = 3,1$

Подставим эти значения в формулу для $S_8$:

$S_8 = \frac{a_1 + a_8}{2} \cdot 8$

$S_8 = \frac{0,3 + 3,1}{2} \cdot 8$

Теперь выполним вычисления:

$S_8 = \frac{3,4}{2} \cdot 8$

$S_8 = 1,7 \cdot 8$

$S_8 = 13,6$

Таким образом, сумма восьми первых членов данной арифметической прогрессии равна 13,6. Это соответствует варианту ответа 2).

Ответ: 13,6

2. Чему равна сумма двенадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = 17,5$, а разность прогрессии равна $-2,5$?

1) 45 2) 75 3) 30 4) 90

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$ используется формула:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

где $S_n$ — искомая сумма, $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — количество членов.

По условию задачи нам известны все необходимые параметры:

• количество членов $n = 12$
• первый член $a_1 = 17,5$
• разность прогрессии $d = -2,5$

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти сумму первых двенадцати членов $S_{12}$:

$S_{12} = \frac{2 \cdot 17,5 + (-2,5) \cdot (12-1)}{2} \cdot 12$

Выполним вычисления по шагам:

1. Сначала вычислим выражение в скобках: $12 - 1 = 11$.

$S_{12} = \frac{2 \cdot 17,5 + (-2,5) \cdot 11}{2} \cdot 12$

2. Теперь вычислим значения в числителе дроби:

$2 \cdot 17,5 = 35$

$(-2,5) \cdot 11 = -27,5$

$35 + (-27,5) = 35 - 27,5 = 7,5$

3. Подставим полученный результат обратно в формулу:

$S_{12} = \frac{7,5}{2} \cdot 12$

4. Сократим 12 и 2:

$S_{12} = 7,5 \cdot 6$

5. Выполним последнее умножение:

$S_{12} = 45$

Таким образом, сумма двенадцати первых членов данной арифметической прогрессии равна 45. Это соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: 45

3. Пятый член арифметической прогрессии в 3 раза больше её первого члена. Найдите разность прогрессии, если сумма семи её первых членов равна 280.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a_1$, а её разность как $d$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Согласно первому условию, пятый член прогрессии ($a_5$) в 3 раза больше первого члена ($a_1$). Запишем это в виде уравнения:

$a_5 = 3a_1$

Используя формулу n-го члена, выразим $a_5$ через $a_1$ и $d$:

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

Теперь мы можем составить первое уравнение, приравняв два выражения для $a_5$:

$a_1 + 4d = 3a_1$

Выразим $a_1$ через $d$:

$4d = 3a_1 - a_1$

$4d = 2a_1$

$a_1 = 2d$

Согласно второму условию, сумма семи первых членов прогрессии ($S_7$) равна 280. Используем формулу суммы:

$S_7 = \frac{2a_1 + (7-1)d}{2} \cdot 7 = 280$

Упростим это выражение:

$\frac{2a_1 + 6d}{2} \cdot 7 = 280$

$(a_1 + 3d) \cdot 7 = 280$

Разделим обе части уравнения на 7, чтобы получить второе уравнение:

$a_1 + 3d = 40$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a_1 = 2d \\ a_1 + 3d = 40 \end{cases}$

Подставим выражение для $a_1$ из первого уравнения во второе:

$(2d) + 3d = 40$

$5d = 40$

Теперь найдём разность прогрессии $d$:

$d = \frac{40}{5}$

$d = 8$

Ответ: 8

4. В первом ряду кинозала 14 мест, а в каждом следующем ряду на 2 места больше, чем в предыдущем. Всего в кинозале 420 мест. Сколько рядов в кинозале?

Данная задача описывает арифметическую прогрессию, где количество мест в каждом ряду представляет собой члены этой прогрессии.

• Первый член прогрессии, $a_1$ — количество мест в первом ряду, равен 14.
• Разность прогрессии, $d$ — число, на которое увеличивается количество мест в каждом следующем ряду, равна 2.
• Сумма всех членов прогрессии, $S_n$ — общее количество мест в кинозале, равна 420.
• Количество членов прогрессии, $n$ — искомое количество рядов в кинозале.

Для нахождения числа рядов $n$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в формулу:

$420 = \frac{2 \cdot 14 + 2(n-1)}{2} \cdot n$

Теперь решим полученное уравнение относительно $n$:

$420 = \frac{28 + 2n - 2}{2} \cdot n$

$420 = \frac{26 + 2n}{2} \cdot n$

$420 = (13 + n) \cdot n$

$420 = 13n + n^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$n^2 + 13n - 420 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 169 + 1680 = 1849$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{1849} = 43$

$n_1 = \frac{-13 + 43}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15$

$n_2 = \frac{-13 - 43}{2 \cdot 1} = \frac{-56}{2} = -28$

Поскольку количество рядов $n$ не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -28$ не является решением задачи. Таким образом, единственное подходящее решение — $n = 15$.

Ответ: 15.

5. Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, остаток при делении которых на 6 равен 4.

Все двузначные натуральные числа, которые при делении на 6 дают в остатке 4, можно представить в виде $6k + 4$, где $k$ — целое неотрицательное число. Эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=6$.

Сначала найдем первый член этой прогрессии ($a_1$), который является двузначным числом. Двузначные числа — это числа от 10 до 99.

Найдем наименьшее $k$, для которого $6k+4$ будет двузначным:$6k + 4 \ge 10$$6k \ge 6$$k \ge 1$Наименьшее целое значение $k$ равно 1. Тогда первый член прогрессии: $a_1 = 6 \cdot 1 + 4 = 10$.

Теперь найдем последний член прогрессии ($a_n$), который является двузначным числом:$6k + 4 \le 99$$6k \le 95$$k \le \frac{95}{6}$$k \le 15.83...$Наибольшее целое значение $k$ равно 15. Тогда последний член прогрессии: $a_n = 6 \cdot 15 + 4 = 90 + 4 = 94$.

Мы получили арифметическую прогрессию, где $a_1 = 10$, $a_n = 94$ и $d=6$. Найдем количество членов в этой прогрессии ($n$). Так как $k$ принимает целые значения от 1 до 15, количество членов равно $n = 15 - 1 + 1 = 15$.

Сумму $n$ членов арифметической прогрессии можно найти по формуле: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$.

Подставим наши значения в формулу:$S_{15} = \frac{(10 + 94) \cdot 15}{2} = \frac{104 \cdot 15}{2} = 52 \cdot 15 = 780$.

Ответ: 780