Страница 86 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равна сумма семи первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = 3, a_7 = 21$?

1) 42

2) 63

3) 84

4) 168

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$ используется формула, которая связывает сумму с первым и $n$-м членом прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

В данном случае нам необходимо найти сумму семи первых членов, то есть $n=7$. Из условия задачи нам известны:

- первый член прогрессии $a_1 = 3$
- седьмой член прогрессии $a_7 = 21$

Подставим эти значения в формулу для $S_7$:

$S_7 = \frac{a_1 + a_7}{2} \cdot 7$

$S_7 = \frac{3 + 21}{2} \cdot 7$

Теперь выполним вычисления:

$S_7 = \frac{24}{2} \cdot 7$

$S_7 = 12 \cdot 7$

$S_7 = 84$

Таким образом, сумма семи первых членов арифметической прогрессии равна 84. Среди предложенных вариантов это ответ под номером 3.

Ответ: 84

2. Чему равна сумма пяти первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = -7$, а разность прогрессии равна 4?

1) 5 2) 10 3) 22,5 4) 15

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$ используется формула:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

где $S_n$ — сумма первых $n$ членов, $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию задачи нам даны следующие значения:

Первый член прогрессии $a_1 = -7$.

Разность прогрессии $d = 4$.

Требуется найти сумму первых пяти членов, следовательно, $n = 5$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения суммы $S_5$:

$S_5 = \frac{2 \cdot (-7) + 4 \cdot (5-1)}{2} \cdot 5$

Выполним вычисления по шагам:

1. Сначала вычислим выражение в скобках: $5-1 = 4$.

$S_5 = \frac{2 \cdot (-7) + 4 \cdot 4}{2} \cdot 5$

2. Теперь выполним умножение в числителе дроби: $2 \cdot (-7) = -14$ и $4 \cdot 4 = 16$.

$S_5 = \frac{-14 + 16}{2} \cdot 5$

3. Сложим числа в числителе: $-14 + 16 = 2$.

$S_5 = \frac{2}{2} \cdot 5$

4. Выполним деление и затем умножение: $\frac{2}{2} = 1$, и $1 \cdot 5 = 5$.

$S_5 = 5$

Таким образом, сумма пяти первых членов данной арифметической прогрессии равна 5.

Ответ: 5

3. Арифметическая прогрессия ($a_n$) задана формулой $n$-го члена $a_n = 8 - 2,4n$. Найдите сумму сорока первых членов прогрессии.

Для того чтобы найти сумму первых сорока членов арифметической прогрессии, воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $a_n$ — $n$-й член прогрессии, а $n$ — количество членов.

По условию задачи, $n=40$, а формула $n$-го члена прогрессии задана как $a_n = 8 - 2,4n$.

1. Найдем первый член прогрессии ($a_1$).

Для этого подставим $n=1$ в формулу $n$-го члена:

$a_1 = 8 - 2,4 \cdot 1 = 8 - 2,4 = 5,6$

2. Найдем сороковой член прогрессии ($a_{40}$).

Для этого подставим $n=40$ в формулу $n$-го члена:

$a_{40} = 8 - 2,4 \cdot 40 = 8 - 96 = -88$

3. Вычислим сумму первых сорока членов ($S_{40}$).

Теперь подставим найденные значения $a_1=5,6$, $a_{40}=-88$ и $n=40$ в формулу суммы:

$S_{40} = \frac{a_1 + a_{40}}{2} \cdot 40$

$S_{40} = \frac{5,6 + (-88)}{2} \cdot 40$

$S_{40} = \frac{5,6 - 88}{2} \cdot 40$

$S_{40} = \frac{-82,4}{2} \cdot 40$

$S_{40} = -41,2 \cdot 40$

$S_{40} = -1648$

Ответ: -1648

4. В каждом ряду кинозала, начиная со второго, на 3 места больше, чем в предыдущем. Всего в кинозале 18 рядов и 783 места. Сколько мест в первом ряду?

Данная задача описывает арифметическую прогрессию, где каждый член — это количество мест в ряду. Обозначим количество мест в первом ряду как $a_1$. Это значение нам и нужно найти.

Из условия задачи нам известны следующие параметры прогрессии:

• Разность прогрессии $d = 3$, так как в каждом следующем ряду на 3 места больше.
• Количество рядов (членов прогрессии) $n = 18$.
• Сумма всех мест (сумма $n$ членов прогрессии) $S_n = 783$.

Воспользуемся формулой для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим в формулу известные нам значения: $783 = \frac{2a_1 + 3(18-1)}{2} \cdot 18$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $a_1$. Сначала упростим правую часть: $783 = (2a_1 + 3 \cdot 17) \cdot \frac{18}{2}$

$783 = (2a_1 + 51) \cdot 9$

Разделим обе части уравнения на 9: $\frac{783}{9} = 2a_1 + 51$

$87 = 2a_1 + 51$

Вычтем 51 из обеих частей уравнения: $2a_1 = 87 - 51$

$2a_1 = 36$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $a_1$: $a_1 = \frac{36}{2}$

$a_1 = 18$

Таким образом, количество мест в первом ряду равно 18. Ответ: 18.

5. Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, кратных 6.

Все двузначные натуральные числа, кратные 6, образуют арифметическую прогрессию. Чтобы найти их сумму, нам нужно определить первый член этой прогрессии, последний член и их общее количество.

1. Находим первый и последний члены прогрессии.
Первый член ($a_1$) — это наименьшее двузначное число, которое делится на 6. Это число 12. Таким образом, $a_1 = 12$.
Последний член ($a_n$) — это наибольшее двузначное число, которое делится на 6. Наибольшее двузначное число — 99. Чтобы найти $a_n$, разделим 99 на 6: $99 \div 6 = 16$ с остатком 3. Следовательно, наибольшее двузначное число, кратное 6, равно $6 \times 16 = 96$. Таким образом, $a_n = 96$.
Разность прогрессии ($d$) равна 6, так как мы ищем числа, кратные 6.

2. Находим количество членов прогрессии.
Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $n$ — количество членов.
Подставим известные значения:
$96 = 12 + (n-1) \times 6$
Теперь решим это уравнение относительно $n$:
$96 - 12 = (n-1) \times 6$
$84 = (n-1) \times 6$
$n - 1 = \frac{84}{6}$
$n - 1 = 14$
$n = 15$
Всего существует 15 двузначных натуральных чисел, кратных 6.

3. Вычисляем сумму членов прогрессии.
Сумма ($S_n$) n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n$.
Подставим наши значения в формулу:
$S_{15} = \frac{12 + 96}{2} \times 15$
$S_{15} = \frac{108}{2} \times 15$
$S_{15} = 54 \times 15$
$S_{15} = 810$

Ответ: 810