Номер 5, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, кратных 6.

Все двузначные натуральные числа, кратные 6, образуют арифметическую прогрессию. Чтобы найти их сумму, нам нужно определить первый член этой прогрессии, последний член и их общее количество.

1. Находим первый и последний члены прогрессии.
Первый член ($a_1$) — это наименьшее двузначное число, которое делится на 6. Это число 12. Таким образом, $a_1 = 12$.
Последний член ($a_n$) — это наибольшее двузначное число, которое делится на 6. Наибольшее двузначное число — 99. Чтобы найти $a_n$, разделим 99 на 6: $99 \div 6 = 16$ с остатком 3. Следовательно, наибольшее двузначное число, кратное 6, равно $6 \times 16 = 96$. Таким образом, $a_n = 96$.
Разность прогрессии ($d$) равна 6, так как мы ищем числа, кратные 6.

2. Находим количество членов прогрессии.
Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $n$ — количество членов.
Подставим известные значения:
$96 = 12 + (n-1) \times 6$
Теперь решим это уравнение относительно $n$:
$96 - 12 = (n-1) \times 6$
$84 = (n-1) \times 6$
$n - 1 = \frac{84}{6}$
$n - 1 = 14$
$n = 15$
Всего существует 15 двузначных натуральных чисел, кратных 6.

3. Вычисляем сумму членов прогрессии.
Сумма ($S_n$) n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n$.
Подставим наши значения в формулу:
$S_{15} = \frac{12 + 96}{2} \times 15$
$S_{15} = \frac{108}{2} \times 15$
$S_{15} = 54 \times 15$
$S_{15} = 810$

Ответ: 810