Номер 5, страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, остаток при делении которых на 5 равен 2.

Задача состоит в том, чтобы найти сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 2. Такие числа можно описать общей формулой $a = 5k + 2$, где $k$ — целое число.

Двузначные натуральные числа лежат в диапазоне от 10 до 99. Найдем первое и последнее число в этом диапазоне, удовлетворяющее нашему условию.

Первое двузначное число, дающее остаток 2 при делении на 5, это 12. Для него $12 = 5 \cdot 2 + 2$. Последнее двузначное число, дающее остаток 2 при делении на 5, это 97. Для него $97 = 5 \cdot 19 + 2$.

Последовательность таких чисел (12, 17, 22, ..., 97) представляет собой арифметическую прогрессию. Найдем параметры этой прогрессии:

• Первый член прогрессии $a_1 = 12$.
• Последний член прогрессии $a_n = 97$.
• Разность прогрессии $d = 5$.

Для вычисления суммы нам нужно знать количество членов $n$ в этой прогрессии. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим известные значения:
$97 = 12 + (n-1) \cdot 5$
$97 - 12 = 5(n-1)$
$85 = 5(n-1)$
$n-1 = \frac{85}{5}$
$n-1 = 17$
$n = 18$
Итак, в последовательности 18 чисел.

Теперь найдем сумму $S_n$ всех членов этой прогрессии по формуле суммы арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим наши значения:
$S_{18} = \frac{12 + 97}{2} \cdot 18$
$S_{18} = \frac{109}{2} \cdot 18$
$S_{18} = 109 \cdot 9$
$S_{18} = 981$

Ответ: 981