Страница 83 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какая из данных последовательностей является арифметической прогрессией?

1) 0,2; 0,6; 0,9; 1,3

2) -1, 2, -3, 4

3) 17, 8, -1, -10

4) 3, 6, 9, 13

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом, называемым разностью прогрессии ($d$). Для того чтобы определить, является ли последовательность арифметической прогрессией, необходимо проверить, постоянна ли разность между соседними членами.

1) 0,2; 0,6; 0,9; 1,3

Найдем разность между последовательными членами:
$0,6 - 0,2 = 0,4$
$0,9 - 0,6 = 0,3$
Разности $0,4$ и $0,3$ не равны. Следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: не является.

2) -1, 2, -3, 4

Найдем разность между последовательными членами:
$2 - (-1) = 3$
$-3 - 2 = -5$
Разности $3$ и $-5$ не равны. Следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: не является.

3) 17, 8, -1, -10

Найдем разность между последовательными членами:
$8 - 17 = -9$
$-1 - 8 = -9$
$-10 - (-1) = -10 + 1 = -9$
Разность между всеми соседними членами постоянна и равна $-9$. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: является.

4) 3, 6, 9, 13

Найдем разность между последовательными членами:
$6 - 3 = 3$
$9 - 6 = 3$
$13 - 9 = 4$
Не все разности равны. Следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: не является.

Таким образом, из всех предложенных последовательностей только последовательность под номером 3 является арифметической прогрессией.

Ответ: 3

2. Чему равна разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_4 = 21, a_9 = 11$?

1) 2,5 2) 2 3) -2,5 4) -2

Для нахождения разности арифметической прогрессии $(a_n)$ воспользуемся формулой, связывающей любые два члена прогрессии $a_n$ и $a_m$:

$a_n = a_m + (n-m)d$

где $d$ — искомая разность прогрессии.

Из этой формулы можно выразить разность $d$:

$d = \frac{a_n - a_m}{n - m}$

По условию задачи нам даны значения для $n=9$ и $m=4$:

$a_9 = 11$

$a_4 = 21$

Подставим эти значения в формулу для нахождения разности:

$d = \frac{a_9 - a_4}{9 - 4} = \frac{11 - 21}{5}$

Выполним вычисления:

$d = \frac{-10}{5} = -2$

Таким образом, разность арифметической прогрессии равна -2, что соответствует варианту ответа 4).

Ответ: -2

3. В арифметической прогрессии $(a_n)$ известно, что $\frac{a_3}{a_5} = \frac{3}{4}$.

Докажите, что $a_{37} = 5a_9$.

Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Используя эту формулу, выразим члены прогрессии $a_3$ и $a_5$ через $a_1$ и $d$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

По условию задачи известно, что $\frac{a_3}{a_5} = \frac{3}{4}$. Подставим в это равенство полученные выражения:

$\frac{a_1 + 2d}{a_1 + 4d} = \frac{3}{4}$

Решим это уравнение, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$4(a_1 + 2d) = 3(a_1 + 4d)$

$4a_1 + 8d = 3a_1 + 12d$

Перенесем слагаемые с $a_1$ в левую часть, а с $d$ — в правую:

$4a_1 - 3a_1 = 12d - 8d$

$a_1 = 4d$

Мы нашли соотношение между первым членом и разностью прогрессии.

Теперь нам нужно доказать, что $a_{57} = 5a_9$. Для этого выразим левую и правую части этого равенства через $a_1$ и $d$, а затем воспользуемся найденным соотношением $a_1 = 4d$.

Выразим левую часть равенства:

$a_{57} = a_1 + (57-1)d = a_1 + 56d$

Подставим $a_1 = 4d$:

$a_{57} = 4d + 56d = 60d$

Теперь выразим правую часть равенства. Сначала найдем $a_9$:

$a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d$

Тогда $5a_9 = 5(a_1 + 8d)$.

Подставим $a_1 = 4d$:

$5a_9 = 5(4d + 8d) = 5(12d) = 60d$

Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей, видим, что они равны:

$a_{57} = 60d$ и $5a_9 = 60d$.

Следовательно, $a_{57} = 5a_9$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $a_{57} = 5a_9$ доказано.

4. Дана арифметическая прогрессия: $2,6; 2,1; 1,6; \dots$.

Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

Дана арифметическая прогрессия ($a_n$), где первый член $a_1 = 2,6$.

Для нахождения разности арифметической прогрессии ($d$) вычтем из второго члена первый:

$d = a_2 - a_1 = 2,1 - 2,6 = -0,5$.

Прогрессия является убывающей, так как ее разность отрицательна.

Чтобы найти первый отрицательный член, нужно решить неравенство $a_n < 0$, где $n$ — номер члена прогрессии. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + d(n-1)$.

Подставим известные значения в неравенство:

$2,6 + (-0,5)(n-1) < 0$

Решим это неравенство относительно $n$:

$2,6 - 0,5n + 0,5 < 0$

$3,1 - 0,5n < 0$

$3,1 < 0,5n$

Разделим обе части на 0,5:

$n > \frac{3,1}{0,5}$

$n > 6,2$

Поскольку $n$ (номер члена прогрессии) должно быть целым числом, наименьшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 7.

Таким образом, седьмой член прогрессии ($a_7$) является первым отрицательным членом.

Теперь найдем значение этого члена:

$a_7 = a_1 + d(7-1) = 2,6 + (-0,5) \cdot 6 = 2,6 - 3 = -0,4$.

Ответ: -0,4

5. Сумма четвёртого и седьмого членов арифметической прогрессии равна 39, а сумма шестого и десятого членов равна 64. Найдите первый член и разность прогрессии.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a_1$, а её разность как $d$. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Согласно условию, сумма четвёртого и седьмого членов равна 39. Это можно записать в виде уравнения: $a_4 + a_7 = 39$.
Выразим $a_4$ и $a_7$ через $a_1$ и $d$, используя формулу n-го члена:
$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$
$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$
Подставив эти выражения в уравнение, получим первое уравнение системы:
$(a_1 + 3d) + (a_1 + 6d) = 39$
$2a_1 + 9d = 39$

Также по условию, сумма шестого и десятого членов равна 64. Запишем второе уравнение: $a_6 + a_{10} = 64$.
Выразим $a_6$ и $a_{10}$ через $a_1$ и $d$:
$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$
$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$
Подставив эти выражения в уравнение, получим второе уравнение системы:
$(a_1 + 5d) + (a_1 + 9d) = 64$
$2a_1 + 14d = 64$

Теперь решим систему из двух полученных линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} 2a_1 + 9d = 39 \\ 2a_1 + 14d = 64 \end{cases}$
Для решения системы удобно вычесть первое уравнение из второго. Это позволит избавиться от переменной $a_1$ и найти $d$:
$(2a_1 + 14d) - (2a_1 + 9d) = 64 - 39$
$5d = 25$
$d = \frac{25}{5} = 5$

Теперь, зная разность прогрессии $d=5$, подставим это значение в первое уравнение системы, чтобы найти первый член $a_1$:
$2a_1 + 9(5) = 39$
$2a_1 + 45 = 39$
$2a_1 = 39 - 45$
$2a_1 = -6$
$a_1 = \frac{-6}{2} = -3$

Проверка:
$a_4 = -3 + 3(5) = 12$
$a_7 = -3 + 6(5) = 27$
$a_4 + a_7 = 12 + 27 = 39$ (верно)
$a_6 = -3 + 5(5) = 22$
$a_{10} = -3 + 9(5) = 42$
$a_6 + a_{10} = 22 + 42 = 64$ (верно)
Ответ: первый член прогрессии равен -3, разность прогрессии равна 5.