Номер 5, страница 83, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Сумма четвёртого и седьмого членов арифметической прогрессии равна 39, а сумма шестого и десятого членов равна 64. Найдите первый член и разность прогрессии.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a_1$, а её разность как $d$. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Согласно условию, сумма четвёртого и седьмого членов равна 39. Это можно записать в виде уравнения: $a_4 + a_7 = 39$.
Выразим $a_4$ и $a_7$ через $a_1$ и $d$, используя формулу n-го члена:
$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$
$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$
Подставив эти выражения в уравнение, получим первое уравнение системы:
$(a_1 + 3d) + (a_1 + 6d) = 39$
$2a_1 + 9d = 39$

Также по условию, сумма шестого и десятого членов равна 64. Запишем второе уравнение: $a_6 + a_{10} = 64$.
Выразим $a_6$ и $a_{10}$ через $a_1$ и $d$:
$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$
$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$
Подставив эти выражения в уравнение, получим второе уравнение системы:
$(a_1 + 5d) + (a_1 + 9d) = 64$
$2a_1 + 14d = 64$

Теперь решим систему из двух полученных линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} 2a_1 + 9d = 39 \\ 2a_1 + 14d = 64 \end{cases}$
Для решения системы удобно вычесть первое уравнение из второго. Это позволит избавиться от переменной $a_1$ и найти $d$:
$(2a_1 + 14d) - (2a_1 + 9d) = 64 - 39$
$5d = 25$
$d = \frac{25}{5} = 5$

Теперь, зная разность прогрессии $d=5$, подставим это значение в первое уравнение системы, чтобы найти первый член $a_1$:
$2a_1 + 9(5) = 39$
$2a_1 + 45 = 39$
$2a_1 = 39 - 45$
$2a_1 = -6$
$a_1 = \frac{-6}{2} = -3$

Проверка:
$a_4 = -3 + 3(5) = 12$
$a_7 = -3 + 6(5) = 27$
$a_4 + a_7 = 12 + 27 = 39$ (верно)
$a_6 = -3 + 5(5) = 22$
$a_{10} = -3 + 9(5) = 42$
$a_6 + a_{10} = 22 + 42 = 64$ (верно)
Ответ: первый член прогрессии равен -3, разность прогрессии равна 5.