Номер 3, страница 84, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. В арифметической прогрессии $(a_n)$ известно, что $\frac{a_4}{a_8} = \frac{2}{3}$.

Докажите, что $a_{71} = 5a_{11}$.

Для доказательства воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Сначала выразим члены $a_4$ и $a_8$ через $a_1$ и $d$:
$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$
$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$

Теперь подставим эти выражения в заданное в условии отношение $\frac{a_4}{a_8} = \frac{2}{3}$:
$\frac{a_1 + 3d}{a_1 + 7d} = \frac{2}{3}$

Решим полученное уравнение относительно $a_1$ и $d$, используя основное свойство пропорции:
$3 \cdot (a_1 + 3d) = 2 \cdot (a_1 + 7d)$
Раскроем скобки:
$3a_1 + 9d = 2a_1 + 14d$
Сгруппируем слагаемые:
$3a_1 - 2a_1 = 14d - 9d$
$a_1 = 5d$

Мы получили зависимость между первым членом прогрессии и её разностью. Теперь необходимо доказать равенство $a_{71} = 5a_{11}$. Выразим левую и правую части этого равенства через $a_1$ и $d$.

Выразим левую часть:
$a_{71} = a_1 + (71-1)d = a_1 + 70d$
Подставим найденное соотношение $a_1 = 5d$:
$a_{71} = 5d + 70d = 75d$

Выразим правую часть:
Сначала найдём $a_{11}$:
$a_{11} = a_1 + (11-1)d = a_1 + 10d$
Подставим $a_1 = 5d$:
$a_{11} = 5d + 10d = 15d$
Теперь умножим результат на 5:
$5a_{11} = 5 \cdot (15d) = 75d$

Сравнивая выражения для левой и правой частей, видим, что они равны:
$a_{71} = 75d$
$5a_{11} = 75d$
Следовательно, $a_{71} = 5a_{11}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.