Номер 3, страница 83, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. В арифметической прогрессии $(a_n)$ известно, что $\frac{a_3}{a_5} = \frac{3}{4}$.

Докажите, что $a_{37} = 5a_9$.

Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Используя эту формулу, выразим члены прогрессии $a_3$ и $a_5$ через $a_1$ и $d$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

По условию задачи известно, что $\frac{a_3}{a_5} = \frac{3}{4}$. Подставим в это равенство полученные выражения:

$\frac{a_1 + 2d}{a_1 + 4d} = \frac{3}{4}$

Решим это уравнение, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$4(a_1 + 2d) = 3(a_1 + 4d)$

$4a_1 + 8d = 3a_1 + 12d$

Перенесем слагаемые с $a_1$ в левую часть, а с $d$ — в правую:

$4a_1 - 3a_1 = 12d - 8d$

$a_1 = 4d$

Мы нашли соотношение между первым членом и разностью прогрессии.

Теперь нам нужно доказать, что $a_{57} = 5a_9$. Для этого выразим левую и правую части этого равенства через $a_1$ и $d$, а затем воспользуемся найденным соотношением $a_1 = 4d$.

Выразим левую часть равенства:

$a_{57} = a_1 + (57-1)d = a_1 + 56d$

Подставим $a_1 = 4d$:

$a_{57} = 4d + 56d = 60d$

Теперь выразим правую часть равенства. Сначала найдем $a_9$:

$a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d$

Тогда $5a_9 = 5(a_1 + 8d)$.

Подставим $a_1 = 4d$:

$5a_9 = 5(4d + 8d) = 5(12d) = 60d$

Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей, видим, что они равны:

$a_{57} = 60d$ и $5a_9 = 60d$.

Следовательно, $a_{57} = 5a_9$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $a_{57} = 5a_9$ доказано.