Номер 5, страница 84, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 22, а сумма пятого и одиннадцатого членов равна 34. Найдите первый член и разность прогрессии.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Согласно условию, сумма третьего и девятого членов равна 22. Запишем это в виде уравнения:

$a_3 + a_9 = 22$

Используя формулу n-го члена, выразим $a_3$ и $a_9$ через $a_1$ и $d$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$

$a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d$

Подставим эти выражения в уравнение:

$(a_1 + 2d) + (a_1 + 8d) = 22$

$2a_1 + 10d = 22$

Разделим обе части уравнения на 2:

$a_1 + 5d = 11$

Также по условию, сумма пятого и одиннадцатого членов равна 34:

$a_5 + a_{11} = 34$

Выразим $a_5$ и $a_{11}$ через $a_1$ и $d$:

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

$a_{11} = a_1 + (11-1)d = a_1 + 10d$

Подставим эти выражения в уравнение:

$(a_1 + 4d) + (a_1 + 10d) = 34$

$2a_1 + 14d = 34$

Разделим обе части уравнения на 2:

$a_1 + 7d = 17$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $a_1$ и $d$:

$\begin{cases} a_1 + 5d = 11 \\ a_1 + 7d = 17 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(a_1 + 7d) - (a_1 + 5d) = 17 - 11$

$2d = 6$

$d = 3$

Мы нашли разность прогрессии. Теперь подставим значение $d=3$ в первое уравнение системы, чтобы найти первый член $a_1$:

$a_1 + 5(3) = 11$

$a_1 + 15 = 11$

$a_1 = 11 - 15$

$a_1 = -4$

Таким образом, первый член прогрессии равен -4, а разность прогрессии равна 3.

Ответ: первый член равен -4, разность прогрессии равна 3.