Страница 84 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какая из данных последовательностей является арифметической прогрессией?

1) $-7, -3, 1, 6$

2) $20, 18, 15, 13$

3) $0.2; 0.4; 0.7; 1$

4) $1.5; 3; 4.5; 6$

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой разность между каждым последующим и предыдущим членами является постоянной. Эта разность называется разностью прогрессии ($d$). Чтобы определить, какая из последовательностей является арифметической, нужно проверить это условие для каждой из них.

1) -7, -3, 1, 6

Вычислим разности между соседними членами:
$a_2 - a_1 = -3 - (-7) = 4$
$a_3 - a_2 = 1 - (-3) = 4$
$a_4 - a_3 = 6 - 1 = 5$
Так как разность между членами не является постоянной ($4 \neq 5$), эта последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: не является арифметической прогрессией.

2) 20, 18, 15, 13

Вычислим разности между соседними членами:
$a_2 - a_1 = 18 - 20 = -2$
$a_3 - a_2 = 15 - 18 = -3$
Так как разность между членами не является постоянной ($-2 \neq -3$), эта последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: не является арифметической прогрессией.

3) 0,2; 0,4; 0,7; 1

Вычислим разности между соседними членами:
$a_2 - a_1 = 0,4 - 0,2 = 0,2$
$a_3 - a_2 = 0,7 - 0,4 = 0,3$
Так как разность между членами не является постоянной ($0,2 \neq 0,3$), эта последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: не является арифметической прогрессией.

4) 1,5; 3; 4,5; 6

Вычислим разности между соседними членами:
$a_2 - a_1 = 3 - 1,5 = 1,5$
$a_3 - a_2 = 4,5 - 3 = 1,5$
$a_4 - a_3 = 6 - 4,5 = 1,5$
Так как все разности равны $1,5$, разность является постоянной. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: является арифметической прогрессией.

2. Чему равна разность арифметической прогрессии ($a_n$), если $a_6 = -3$, $a_{10} = -11$?

1) $-2$

2) $2$

3) $-3$

4) $3$

Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ можно использовать формулу, связывающую два любых члена прогрессии $a_m$ и $a_n$:

$a_m = a_n + (m-n)d$

В нашем случае известны десятый ($m=10$) и шестой ($n=6$) члены прогрессии:

$a_{10} = -11$

$a_6 = -3$

Подставим эти значения в формулу:

$a_{10} = a_6 + (10-6)d$

$-11 = -3 + 4d$

Теперь решим полученное уравнение относительно $d$:

$4d = -11 - (-3)$

$4d = -11 + 3$

$4d = -8$

$d = \frac{-8}{4}$

$d = -2$

Таким образом, разность арифметической прогрессии равна -2, что соответствует варианту ответа 1.

Альтернативное решение:

Можно использовать основную формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$ и составить систему уравнений:

$ \begin{cases} a_6 = a_1 + (6-1)d = -3 \\ a_{10} = a_1 + (10-1)d = -11 \end{cases} $

$ \begin{cases} a_1 + 5d = -3 \\ a_1 + 9d = -11 \end{cases} $

Вычитая первое уравнение из второго, получаем:

$(a_1 + 9d) - (a_1 + 5d) = -11 - (-3)$

$4d = -8$

$d = -2$

Ответ: 1) -2

3. В арифметической прогрессии $(a_n)$ известно, что $\frac{a_4}{a_8} = \frac{2}{3}$.

Докажите, что $a_{71} = 5a_{11}$.

Для доказательства воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Сначала выразим члены $a_4$ и $a_8$ через $a_1$ и $d$:
$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$
$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$

Теперь подставим эти выражения в заданное в условии отношение $\frac{a_4}{a_8} = \frac{2}{3}$:
$\frac{a_1 + 3d}{a_1 + 7d} = \frac{2}{3}$

Решим полученное уравнение относительно $a_1$ и $d$, используя основное свойство пропорции:
$3 \cdot (a_1 + 3d) = 2 \cdot (a_1 + 7d)$
Раскроем скобки:
$3a_1 + 9d = 2a_1 + 14d$
Сгруппируем слагаемые:
$3a_1 - 2a_1 = 14d - 9d$
$a_1 = 5d$

Мы получили зависимость между первым членом прогрессии и её разностью. Теперь необходимо доказать равенство $a_{71} = 5a_{11}$. Выразим левую и правую части этого равенства через $a_1$ и $d$.

Выразим левую часть:
$a_{71} = a_1 + (71-1)d = a_1 + 70d$
Подставим найденное соотношение $a_1 = 5d$:
$a_{71} = 5d + 70d = 75d$

Выразим правую часть:
Сначала найдём $a_{11}$:
$a_{11} = a_1 + (11-1)d = a_1 + 10d$
Подставим $a_1 = 5d$:
$a_{11} = 5d + 10d = 15d$
Теперь умножим результат на 5:
$5a_{11} = 5 \cdot (15d) = 75d$

Сравнивая выражения для левой и правой частей, видим, что они равны:
$a_{71} = 75d$
$5a_{11} = 75d$
Следовательно, $a_{71} = 5a_{11}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

4. Дана арифметическая прогрессия: 1,7; 1,3; 0,9; ... .

Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

Дана арифметическая прогрессия, у которой известны первые три члена: $a_1 = 1,7$, $a_2 = 1,3$, $a_3 = 0,9$.

1. Найдём разность арифметической прогрессии (d)
Разность прогрессии — это постоянная величина, на которую каждый следующий член отличается от предыдущего. Вычислим её, вычтя из второго члена первый:
$d = a_2 - a_1 = 1,3 - 1,7 = -0,4$.

2. Найдём номер (n) первого отрицательного члена
Общая формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Мы ищем первый член прогрессии, который будет отрицательным, то есть $a_n < 0$. Составим и решим неравенство, подставив известные значения $a_1 = 1,7$ и $d = -0,4$:
$1,7 + (n-1)(-0,4) < 0$
$1,7 - 0,4n + 0,4 < 0$
$2,1 - 0,4n < 0$
Перенесём 2,1 в правую часть:
$-0,4n < -2,1$
Разделим обе части неравенства на -0,4. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$n > \frac{-2,1}{-0,4}$
$n > \frac{21}{4}$
$n > 5,25$
Так как порядковый номер члена прогрессии ($n$) должен быть целым числом, наименьшее целое число, которое больше 5,25, это $n = 6$.

3. Вычислим значение первого отрицательного члена
Теперь, зная его номер ($n=6$), найдём сам член прогрессии $a_6$:
$a_6 = a_1 + (6-1)d = 1,7 + 5 \cdot (-0,4) = 1,7 - 2 = -0,3$.
Ответ: -0,3

5. Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 22, а сумма пятого и одиннадцатого членов равна 34. Найдите первый член и разность прогрессии.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Согласно условию, сумма третьего и девятого членов равна 22. Запишем это в виде уравнения:

$a_3 + a_9 = 22$

Используя формулу n-го члена, выразим $a_3$ и $a_9$ через $a_1$ и $d$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$

$a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d$

Подставим эти выражения в уравнение:

$(a_1 + 2d) + (a_1 + 8d) = 22$

$2a_1 + 10d = 22$

Разделим обе части уравнения на 2:

$a_1 + 5d = 11$

Также по условию, сумма пятого и одиннадцатого членов равна 34:

$a_5 + a_{11} = 34$

Выразим $a_5$ и $a_{11}$ через $a_1$ и $d$:

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

$a_{11} = a_1 + (11-1)d = a_1 + 10d$

Подставим эти выражения в уравнение:

$(a_1 + 4d) + (a_1 + 10d) = 34$

$2a_1 + 14d = 34$

Разделим обе части уравнения на 2:

$a_1 + 7d = 17$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $a_1$ и $d$:

$\begin{cases} a_1 + 5d = 11 \\ a_1 + 7d = 17 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(a_1 + 7d) - (a_1 + 5d) = 17 - 11$

$2d = 6$

$d = 3$

Мы нашли разность прогрессии. Теперь подставим значение $d=3$ в первое уравнение системы, чтобы найти первый член $a_1$:

$a_1 + 5(3) = 11$

$a_1 + 15 = 11$

$a_1 = 11 - 15$

$a_1 = -4$

Таким образом, первый член прогрессии равен -4, а разность прогрессии равна 3.

Ответ: первый член равен -4, разность прогрессии равна 3.