Страница 89 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какая из данных последовательностей является геометрической прогрессией?

1) 15, 3, 5, 1

2) $-\frac{1}{3}$, 1, 3, -9

3) 2, 8, 16, 64

4) $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, 1, 2

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел $b_1, b_2, b_3, \dots$, в которой каждый последующий член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число $q$, называемое знаменателем геометрической прогрессии. Иными словами, для всех членов прогрессии должно выполняться условие: $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$, где $q$ — постоянная величина.

Проверим каждую из предложенных последовательностей.

1) 15, 3, 5, 1

Для этой последовательности найдем отношение второго члена к первому: $\frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.

Теперь найдем отношение третьего члена ко второму: $\frac{5}{3}$.

Поскольку отношения не равны ($\frac{1}{5} \neq \frac{5}{3}$), эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: не является.

2) $-\frac{1}{3}, 1, 3, -9$

Найдем отношение второго члена к первому: $\frac{1}{-\frac{1}{3}} = -3$.

Найдем отношение третьего члена ко второму: $\frac{3}{1} = 3$.

Поскольку $-3 \neq 3$, эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: не является.

3) 2, 8, 16, 64

Найдем отношение второго члена к первому: $\frac{8}{2} = 4$.

Найдем отношение третьего члена ко второму: $\frac{16}{8} = 2$.

Поскольку $4 \neq 2$, эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: не является.

4) $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2$

Найдем отношение второго члена к первому: $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1} = 2$.

Найдем отношение третьего члена ко второму: $\frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.

Найдем отношение четвертого члена к третьему: $\frac{2}{1} = 2$.

Отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянно и равно 2. Следовательно, эта последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 2$.

Ответ: является.

2. Чему равен знаменатель геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_1 = 12$, $b_2 = 4?$

1) $\frac{1}{3}$

2) $3$

3) $-8$

4) $8$

Знаменателем геометрической прогрессии ($q$) называется постоянное число, на которое умножается каждый предыдущий член последовательности для получения следующего. Чтобы найти знаменатель, необходимо разделить любой член прогрессии на предшествующий ему член.

Формула для нахождения знаменателя прогрессии, зная два последовательных члена $b_n$ и $b_{n+1}$: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$

По условию задачи, нам даны первый член прогрессии $b_1 = 12$ и второй член $b_2 = 4$. Подставим эти значения в формулу: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{4}{12}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4: $q = \frac{4 \div 4}{12 \div 4} = \frac{1}{3}$

Таким образом, знаменатель данной геометрической прогрессии равен $\frac{1}{3}$. Среди предложенных вариантов этот ответ соответствует номеру 1.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

3. Геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана условиями $b_1 = 3$, $b_{n+1} = -2b_n$. Найдите $b_4$.

Геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана своим первым членом $b_1 = 3$ и рекуррентной формулой $b_{n+1} = -2b_n$.

Данная формула означает, что каждый последующий член прогрессии получается путем умножения предыдущего члена на $-2$. Следовательно, знаменатель геометрической прогрессии $q$ равен $-2$.

Для нахождения четвертого члена прогрессии $b_4$ можно воспользоваться одним из двух способов.

Способ 1: Последовательное вычисление членов прогрессии

Зная первый член $b_1=3$ и знаменатель $q=-2$, последовательно находим следующие члены:
$b_2 = b_1 \cdot q = 3 \cdot (-2) = -6$
$b_3 = b_2 \cdot q = (-6) \cdot (-2) = 12$
$b_4 = b_3 \cdot q = 12 \cdot (-2) = -24$

Способ 2: Использование формулы n-го члена

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Чтобы найти $b_4$, подставим в формулу значения $n=4$, $b_1=3$ и $q=-2$:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$
$b_4 = 3 \cdot (-2)^3 = 3 \cdot (-8) = -24$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: -24

4. Выписано несколько членов геометрической прогрессии: ..., $\frac{3}{4}$, $x$, 12, 48, ... . Найдите значение $x$.

В условии задачи дана последовательность, являющаяся геометрической прогрессией. Обозначим её члены как $b_n$, а знаменатель прогрессии как $q$. Нам известны несколько последовательных членов: ..., $\frac{3}{4}$, $x$, $12$, $48$, ... .

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ можно найти как отношение любого её члена к предыдущему. Используем два известных последовательных члена, 12 и 48:$q = \frac{48}{12} = 4$.

Каждый следующий член геометрической прогрессии получается умножением предыдущего на знаменатель $q$. Следовательно, член $x$ можно найти, умножив предыдущий член $\frac{3}{4}$ на найденный знаменатель $q$:$x = \frac{3}{4} \cdot q = \frac{3}{4} \cdot 4$.

Вычисляем значение $x$:$x = 3$.

Сделаем проверку. Если $x=3$, то последовательность принимает вид: ..., $\frac{3}{4}$, $3$, $12$, $48$, ... . Проверим отношения соседних членов:$\frac{3}{\frac{3}{4}} = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4$$\frac{12}{3} = 4$$\frac{48}{12} = 4$Так как отношения равны, значение $x=3$ найдено верно.

Ответ: 3

5. Найдите восьмой член геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_5 = 11$, $b_7 = 99$.

Пусть $(b_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Также для любых двух членов прогрессии $b_m$ и $b_k$ справедливо соотношение: $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$.

По условию задачи нам даны пятый и седьмой члены прогрессии: $b_5 = 11$ и $b_7 = 99$. Используем формулу для нахождения знаменателя прогрессии $q$.
$b_7 = b_5 \cdot q^{7-5}$
Подставим известные значения:
$99 = 11 \cdot q^2$

Теперь решим полученное уравнение относительно $q$:
$q^2 = \frac{99}{11}$
$q^2 = 9$
У этого уравнения есть два корня: $q = 3$ и $q = -3$.

Восьмой член прогрессии $b_8$ можно найти, умножив седьмой член $b_7$ на знаменатель $q$:
$b_8 = b_7 \cdot q$

Так как мы получили два возможных значения для знаменателя $q$, задача имеет два возможных решения:
1. Если $q = 3$, то $b_8 = 99 \cdot 3 = 297$.
2. Если $q = -3$, то $b_8 = 99 \cdot (-3) = -297$.

Ответ: 297 или -297.