Страница 96 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равна сумма четырёх первых членов геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_1 = 36$, а знаменатель прогрессии равен $-\frac{1}{3}$?

1) 27
2) $\frac{1280}{27}$
3) $\frac{80}{3}$
4) 54

Для нахождения суммы первых четырёх членов геометрической прогрессии ($S_4$) воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

где $b_1$ – первый член прогрессии, $q$ – знаменатель прогрессии, $n$ – количество членов.

По условию задачи нам даны следующие значения:

• Первый член прогрессии $b_1 = 36$
• Знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{3}$
• Количество членов для суммирования $n = 4$

Подставим эти значения в формулу:

$S_4 = \frac{36 \cdot (1 - (-\frac{1}{3})^4)}{1 - (-\frac{1}{3})}$

Выполним вычисления по шагам:

1. Сначала вычислим значение $q^n$:

$(-\frac{1}{3})^4 = \frac{(-1)^4}{3^4} = \frac{1}{81}$

2. Теперь вычислим выражение в скобках в числителе:

$1 - \frac{1}{81} = \frac{81}{81} - \frac{1}{81} = \frac{80}{81}$

3. Вычислим знаменатель дроби:

$1 - (-\frac{1}{3}) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

4. Подставим полученные значения обратно в формулу для $S_4$ и упростим выражение:

$S_4 = \frac{36 \cdot \frac{80}{81}}{\frac{4}{3}} = 36 \cdot \frac{80}{81} \cdot \frac{3}{4}$

Сократим множители для получения окончательного ответа:

$S_4 = \frac{36 \cdot 80 \cdot 3}{81 \cdot 4} = \frac{(9 \cdot 4) \cdot 80 \cdot 3}{(9 \cdot 9) \cdot 4} = \frac{80 \cdot 3}{9} = \frac{80}{3}$

Таким образом, сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии равна $\frac{80}{3}$.

Ответ: $\frac{80}{3}$

2. Чему равна сумма бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_1 = 72$, а знаменатель прогрессии равен $-\frac{1}{8}$?

1) 64

2) 81

3) 63

4) 36

Сумма бесконечной геометрической прогрессии ($b_n$) вычисляется по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

где $S$ — это сумма прогрессии, $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — знаменатель прогрессии. Формула применима при условии, что модуль знаменателя прогрессии меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

В условии задачи даны:

• Первый член прогрессии: $b_1 = 72$
• Знаменатель прогрессии: $q = -\frac{1}{8}$

Сначала необходимо проверить, выполняется ли условие $|q| < 1$:

$|q| = |-\frac{1}{8}| = \frac{1}{8}$

Так как $\frac{1}{8} < 1$, условие выполняется, и мы можем использовать формулу для нахождения суммы.

Теперь подставим данные значения в формулу:

$S = \frac{72}{1 - (-\frac{1}{8})}$

Упростим выражение в знаменателе:

$1 - (-\frac{1}{8}) = 1 + \frac{1}{8} = \frac{8}{8} + \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$

Теперь вычислим сумму:

$S = \frac{72}{\frac{9}{8}}$

Для деления на дробь, умножим на перевернутую дробь:

$S = 72 \cdot \frac{8}{9} = \frac{72 \cdot 8}{9}$

Сократим 72 и 9 (так как $72 = 8 \cdot 9$):

$S = \frac{8 \cdot 9 \cdot 8}{9} = 8 \cdot 8 = 64$

Ответ: 64

3. Геометрическая прогрессия ($b_n$) задана формулой $n$-го члена $b_n = 80 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n$. Найдите сумму семи первых членов прогрессии.

Чтобы найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии ($S_7$), необходимо знать ее первый член ($b_1$) и знаменатель ($q$). Затем можно использовать формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

Прогрессия задана формулой $n$-го члена $b_n = 80 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n$.

1. Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$ в заданную формулу:

$b_1 = 80 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^1 = 80 \cdot (-\frac{1}{2}) = -40$.

2. Найдем знаменатель прогрессии $q$. Для этого можно найти второй член $b_2$ и вычислить отношение $q = \frac{b_2}{b_1}$.

$b_2 = 80 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 80 \cdot \frac{1}{4} = 20$.

$q = \frac{20}{-40} = -\frac{1}{2}$.

3. Теперь, зная $b_1 = -40$, $q = -\frac{1}{2}$ и $n=7$, вычислим сумму первых семи членов прогрессии:

$S_7 = \frac{b_1(1-q^7)}{1-q} = \frac{-40 \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^7\right)}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)}$.

Вычислим степень в числителе:

$\left(-\frac{1}{2}\right)^7 = -\frac{1^7}{2^7} = -\frac{1}{128}$.

Подставим это значение обратно в формулу суммы:

$S_7 = \frac{-40 \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{128}\right)\right)}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-40 \cdot \left(1 + \frac{1}{128}\right)}{\frac{3}{2}} = \frac{-40 \cdot \frac{129}{128}}{\frac{3}{2}}$.

Упростим полученное выражение:

$S_7 = -40 \cdot \frac{129}{128} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{40 \cdot 129 \cdot 2}{128 \cdot 3} = -\frac{80 \cdot 129}{128 \cdot 3}$.

Сократим дробь:

$S_7 = -\frac{80}{128} \cdot \frac{129}{3} = -\frac{5 \cdot 16}{8 \cdot 16} \cdot 43 = -\frac{5}{8} \cdot 43 = -\frac{215}{8}$.

Результат можно также представить в виде смешанной дроби $-26\frac{7}{8}$ или десятичной дроби $-26.875$.

Ответ: $-\frac{215}{8}$.

4. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь $3,8333...$

Для преобразования бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь, выполним следующие действия.

Пусть искомое число равно $x$.

$x = 3,8333...$

Данную дробь можно записать как $3,8(3)$, где $3$ — это период дроби.

Сначала умножим наше число на $10$, чтобы "подвинуть" запятую до начала периода.

$10x = 38,333...$

Теперь умножим исходное число на $100$, чтобы "подвинуть" запятую на один знак после начала периода.

$100x = 383,333...$

Теперь у нас есть два уравнения, у которых дробная часть одинакова:

$100x = 383,333...$

$10x = 38,333...$

Вычтем из первого уравнения второе. Это позволит нам избавиться от бесконечной периодической части.

$100x - 10x = 383,333... - 38,333...$

$90x = 345$

Теперь найдем $x$, решив полученное линейное уравнение.

$x = \frac{345}{90}$

Осталось сократить полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 5.

$\frac{345}{90} = \frac{345 \div 5}{90 \div 5} = \frac{69}{18}$

Теперь числитель и знаменатель делятся на 3.

$\frac{69}{18} = \frac{69 \div 3}{18 \div 3} = \frac{23}{6}$

Дробь $\frac{23}{6}$ является несократимой, так как 23 — простое число, а 6 на него не делится.

Ответ: $\frac{23}{6}$

5. Второй член бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q, где $|q| < 1$, равен 12, а сумма прогрессии равна 54. Найдите знаменатель прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

По условию задачи, второй член прогрессии $b_2 = 12$, а её сумма $S = 54$. Также дано условие сходимости прогрессии: $|q| < 1$.

Формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Используя эти формулы, составим систему уравнений на основе данных из условия:
1) $b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1q = 12$
2) $S = \frac{b_1}{1 - q} = 54$

Выразим $b_1$ из первого уравнения:
$b_1 = \frac{12}{q}$

Подставим это выражение для $b_1$ во второе уравнение:
$\frac{\frac{12}{q}}{1 - q} = 54$

Теперь решим полученное уравнение относительно $q$:
$\frac{12}{q(1 - q)} = 54$
$12 = 54q(1 - q)$
$12 = 54q - 54q^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$54q^2 - 54q + 12 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на их наибольший общий делитель, равный 6:
$9q^2 - 9q + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 - 72 = 9$

Найдем корни уравнения:
$q_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 - 3}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$
$q_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 + 3}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

Оба найденных значения удовлетворяют условию $|q| < 1$, так как $|\frac{1}{3}| < 1$ и $|\frac{2}{3}| < 1$. Таким образом, оба значения являются решениями задачи.

Ответ: $\frac{1}{3}$ или $\frac{2}{3}$.