Номер 1, страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равна сумма четырёх первых членов геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_1 = 36$, а знаменатель прогрессии равен $-\frac{1}{3}$?

1) 27
2) $\frac{1280}{27}$
3) $\frac{80}{3}$
4) 54

Для нахождения суммы первых четырёх членов геометрической прогрессии ($S_4$) воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

где $b_1$ – первый член прогрессии, $q$ – знаменатель прогрессии, $n$ – количество членов.

По условию задачи нам даны следующие значения:

• Первый член прогрессии $b_1 = 36$
• Знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{3}$
• Количество членов для суммирования $n = 4$

Подставим эти значения в формулу:

$S_4 = \frac{36 \cdot (1 - (-\frac{1}{3})^4)}{1 - (-\frac{1}{3})}$

Выполним вычисления по шагам:

1. Сначала вычислим значение $q^n$:

$(-\frac{1}{3})^4 = \frac{(-1)^4}{3^4} = \frac{1}{81}$

2. Теперь вычислим выражение в скобках в числителе:

$1 - \frac{1}{81} = \frac{81}{81} - \frac{1}{81} = \frac{80}{81}$

3. Вычислим знаменатель дроби:

$1 - (-\frac{1}{3}) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

4. Подставим полученные значения обратно в формулу для $S_4$ и упростим выражение:

$S_4 = \frac{36 \cdot \frac{80}{81}}{\frac{4}{3}} = 36 \cdot \frac{80}{81} \cdot \frac{3}{4}$

Сократим множители для получения окончательного ответа:

$S_4 = \frac{36 \cdot 80 \cdot 3}{81 \cdot 4} = \frac{(9 \cdot 4) \cdot 80 \cdot 3}{(9 \cdot 9) \cdot 4} = \frac{80 \cdot 3}{9} = \frac{80}{3}$

Таким образом, сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии равна $\frac{80}{3}$.

Ответ: $\frac{80}{3}$