Номер 5, страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Второй член бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q, где $|q| < 1$, равен 12, а сумма прогрессии равна 54. Найдите знаменатель прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

По условию задачи, второй член прогрессии $b_2 = 12$, а её сумма $S = 54$. Также дано условие сходимости прогрессии: $|q| < 1$.

Формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Используя эти формулы, составим систему уравнений на основе данных из условия:
1) $b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1q = 12$
2) $S = \frac{b_1}{1 - q} = 54$

Выразим $b_1$ из первого уравнения:
$b_1 = \frac{12}{q}$

Подставим это выражение для $b_1$ во второе уравнение:
$\frac{\frac{12}{q}}{1 - q} = 54$

Теперь решим полученное уравнение относительно $q$:
$\frac{12}{q(1 - q)} = 54$
$12 = 54q(1 - q)$
$12 = 54q - 54q^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$54q^2 - 54q + 12 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на их наибольший общий делитель, равный 6:
$9q^2 - 9q + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 - 72 = 9$

Найдем корни уравнения:
$q_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 - 3}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$
$q_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 + 3}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

Оба найденных значения удовлетворяют условию $|q| < 1$, так как $|\frac{1}{3}| < 1$ и $|\frac{2}{3}| < 1$. Таким образом, оба значения являются решениями задачи.

Ответ: $\frac{1}{3}$ или $\frac{2}{3}$.