Номер 4, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Какая из данных систем неравенств не имеет решений?

1) $\begin{cases} x \ge -6, \\ x \le -3 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x > -6, \\ x > -3 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x < -6, \\ x > -3 \end{cases}$

4) $\begin{cases} x \le -6, \\ x < -3 \end{cases}$

Чтобы определить, какая из систем неравенств не имеет решений, необходимо для каждой системы найти пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. Если пересечение окажется пустым множеством, то система не имеет решений.

1) $\begin{cases} x \ge -6 \\ x \le -3 \end{cases}$

Решением первого неравенства $x \ge -6$ является промежуток $[-6, +\infty)$. Решением второго неравенства $x \le -3$ является промежуток $(-\infty, -3]$. Пересечением этих промежутков является отрезок $[-6, -3]$. Поскольку множество решений непустое (например, $x = -4$ является решением), данная система имеет решения.

Ответ: система имеет решения.

2) $\begin{cases} x > -6 \\ x > -3 \end{cases}$

Решением первого неравенства $x > -6$ является промежуток $(-6, +\infty)$. Решением второго неравенства $x > -3$ является промежуток $(-3, +\infty)$. Пересечением этих двух промежутков является промежуток $(-3, +\infty)$, так как если число больше $-3$, оно автоматически больше и $-6$. Множество решений непустое, значит, система имеет решения.

Ответ: система имеет решения.

3) $\begin{cases} x < -6 \\ x > -3 \end{cases}$

Решением первого неравенства $x < -6$ является промежуток $(-\infty, -6)$. Решением второго неравенства $x > -3$ является промежуток $(-3, +\infty)$. Необходимо найти такие числа $x$, которые одновременно меньше $-6$ и больше $-3$. На числовой оси эти два промежутка не пересекаются, так как $-6 < -3$. Следовательно, пересечение этих множеств пусто. Это означает, что данная система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

4) $\begin{cases} x \le -6 \\ x < -3 \end{cases}$

Решением первого неравенства $x \le -6$ является промежуток $(-\infty, -6]$. Решением второго неравенства $x < -3$ является промежуток $(-\infty, -3)$. Пересечением этих двух промежутков является промежуток $(-\infty, -6]$, так как если число меньше или равно $-6$, оно автоматически меньше $-3$. Множество решений непустое, значит, система имеет решения.

Ответ: система имеет решения.

Таким образом, единственная система неравенств, которая не имеет решений, — это система под номером 3.