Номер 3, страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Геометрическая прогрессия ($b_n$) задана формулой $n$-го члена $b_n = 80 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n$. Найдите сумму семи первых членов прогрессии.

Чтобы найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии ($S_7$), необходимо знать ее первый член ($b_1$) и знаменатель ($q$). Затем можно использовать формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

Прогрессия задана формулой $n$-го члена $b_n = 80 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n$.

1. Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$ в заданную формулу:

$b_1 = 80 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^1 = 80 \cdot (-\frac{1}{2}) = -40$.

2. Найдем знаменатель прогрессии $q$. Для этого можно найти второй член $b_2$ и вычислить отношение $q = \frac{b_2}{b_1}$.

$b_2 = 80 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 80 \cdot \frac{1}{4} = 20$.

$q = \frac{20}{-40} = -\frac{1}{2}$.

3. Теперь, зная $b_1 = -40$, $q = -\frac{1}{2}$ и $n=7$, вычислим сумму первых семи членов прогрессии:

$S_7 = \frac{b_1(1-q^7)}{1-q} = \frac{-40 \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^7\right)}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)}$.

Вычислим степень в числителе:

$\left(-\frac{1}{2}\right)^7 = -\frac{1^7}{2^7} = -\frac{1}{128}$.

Подставим это значение обратно в формулу суммы:

$S_7 = \frac{-40 \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{128}\right)\right)}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-40 \cdot \left(1 + \frac{1}{128}\right)}{\frac{3}{2}} = \frac{-40 \cdot \frac{129}{128}}{\frac{3}{2}}$.

Упростим полученное выражение:

$S_7 = -40 \cdot \frac{129}{128} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{40 \cdot 129 \cdot 2}{128 \cdot 3} = -\frac{80 \cdot 129}{128 \cdot 3}$.

Сократим дробь:

$S_7 = -\frac{80}{128} \cdot \frac{129}{3} = -\frac{5 \cdot 16}{8 \cdot 16} \cdot 43 = -\frac{5}{8} \cdot 43 = -\frac{215}{8}$.

Результат можно также представить в виде смешанной дроби $-26\frac{7}{8}$ или десятичной дроби $-26.875$.

Ответ: $-\frac{215}{8}$.